Apartado a)

    Notemos primero que dos números consecutivos siempre son primos entre sí pues, en caso contrario, serían múltiplos de un cierto k>1 y la diferencia entre ellos debería ser al menos k. Ahora bien, si del conjunto 1, 2, 3, 4, 5....., 2n cogemos n+1 elementos, por fuerza al menos dos de ellos serán consecutivos, ya que la máxima cantidad de números no consecutivos (sin ningún par consecutivos) que puedo escoger es n. Así, si hay dos consecutivos tenemos dos primos entre sí.

Apartado b)

    Voy a hacer la demostración por reducción al absurdo, suponiendo que puedo elegir n+1 números de forma que no hay dos que se dividan. Bajo esta suposición supongamos que tenemos k números pares y s números impares. De esta forma tendríamos que k+s=n+1. Ahora bien, los k pares serían distintos entre sí; es más, si cada número par lo descomponemos como una potencia de dos por un número impar, tendríamos que, como los pares ninguno divide al otro, cada uno de estos pares en su 'descomposición' nos proporcionaría un número impar distinto que también habrían de ser distintos de los s que ya teníamos. En caso contrario también tendríamos dos números que se dividen. De esta forma concluimos que tenemos k+s=n+1 números impares entre los números desde el 1 al 2n. Claramente ya hemos llegado a un absurdo.

    Alberto Castaño Domínguez envía la siguiente respuesta al apartado B, explicando lo anterior de otra forma:

    Vamos a agrupar todos los números de 1 a 2n en n clases de equivalencia. Cada número se puede expresar como producto de una potencia de 2 por un impar. Bueno, pues cada clase es el conjunto de todos los números de 1 a 2n que son una potencia de dos por un determinado impar p. Como hay 2n números, hay n impares, desde el 1 hasta el 2n-1. Como son clases de equivalencia, no hay ningún elemento que pertenezca a dos a la vez. El razonamiento final es sencillo. Es el principio del palomar (o del casillero, o de Dirichlet...). Como escogemos n+1 números y tenemos n clases de equivalencia, necesariamente habrá al menos una clase con al menos 2 elementos. Como ambos son una potencia de 2 por el mismo impar, el que divide al otro es el de la potencia más baja.

    Esta última respuesta menciona el conocido Principio del Palomar: si hay n agujeros y n+1 palomas, en algún agujero hay dos o más palomas. Este principio tiene la propiedad de algunas de las observaciones matemáticas más básicas: es evidente y sin embargo sus generalizaciones y sus aplicaciones están lejos de serlo. Le ocurre algo parecido Teorema de Bolzano: si una curva continua empieza a un lado de una línea recta y termina al otro, en algún lugar tiene que cortarla. El poder de estos enunciados está en que, siendo tan 'impepinablemente' ciertos, recogen de alguna forma una idea y una forma de pensar, que puede aparecer disfrazada en el contexto menos esperado. En el principio del palomar, las palomas y los agujeros pueden cambiarse por un sinfín de otros significados para obtener afirmaciones que no parecían obvias al principio; en el caso del apartado B del problema, los agujeros son clases de equivalencia y las palomas son los números elegidos.

    Si tienes comentarios sobre la respuesta puedes enviarlos a José A. Cañizo. No olvides incluir el nombre del juego en el asunto del mensaje.