"Boletín Matemático para Mentes Inquietas (BMMI)" (c) 2001
MAGAZINE ELECTRÓNICO. Año I. Núm 001. Febrero/Marzo 2001

Publicación electrónica bimestral y gratuita del Paraíso de las Matemáticas, destinada a la difusión e intercambio de novedades, comentarios, reflexiones y opiniones vinculadas al ámbito de las Matemáticas.

Este Boletín NO CONTIENE AVISOS COMERCIALES ni VIRUS alguno. Es una publicación bimestral y GRATUITA con contenidos útiles y orientados a fomentar, difundir y perfeccionar las matemáticas entre la comunidad hispanohablante.

Todas las instrucciones para SUSCRIBIRSE o DE-SUSCRIBIRSE las puedes encontrar al final del boletín.

Manuel
Castellet

Director
del Centre
de Recerca
Matemática.
Barcelona.

La aparición de una nueva revista ha sido, desde la invención de la imprenta, un motivo de alta satisfacción, por lo que representa de avance en el conocimiento de la ciencia tratada, pero también, y no en menor grado, porque una revista es una herramienta de comunicación entre seres, y a veces instituciones, que tienen intereses comunes. Y el ser humano, en el proceso evolutivo de las especies -sea darwiniano o no-, se ha ido colocando a lo largo del tiempo en la cúspide de la comunicabilidad.

Pero hoy en día, sin menospreciar las técnicas de comunicación escrita, estamos dando un paso de gigante en este proceso de las relaciones humanas con las posibilidades que ofrece la comunicación electrónica. Y las relaciones de tipo científico-cultural, que no deben excluir los aspectos más lúdicos, forman parte del desarrollo inmediato de nuestros conocimientos, de nuestras inquietudes y, en cierta manera, de nuestra estructuración cerebral.

“Boletín Matemático para Mentes Inquietas” (BMMI) es una de las posibles respuestas a este proceso evolutivo de la comunicación, con el valor añadido de que no nace de la nada, sino de la experiencia de una página web que recibió el año pasado más de medio millón de consultas.

Como decía Cicerón en Las Tusculanas, “la naturaleza ha puesto en nuestro espíritu un deseo realmente insaciable de conocer la verdad”, una expresión aplicable muy especialmente a los que nos preocupamos por las matemáticas. ¿Qué son las matemáticas?, sino la expresión del más profundo deseo de conocer aquello que podemos deducir simplemente por el razonamiento lógico, a partir de algo que consideramos establecido. Eso es precisamente lo que Cicerón entendía por “verdad”.

No dudo que las mentes inquietas, es decir todos aquellos que vivimos las matemáticas encontraremos en el BMMI no solamente respuesta a nuestras inquietudes, sino una herramienta de comunicación que ayudará a desarrollar nuestras mentes.

¿Quejas? ¿Sugerencias? ¿Opiniones? Cualquier información que quieras compartir con nosotros envíanosla poniendo como asunto del correo "Cartas Forum. BMMI" Los textos destinados a esta sección no deben exceder de 20 líneas mecanográficas. Es imprescindible que estén firmados y que conste el email de contacto. BMMI se reserva el derecho de publicar tales colaboraciones, así como resumirlas cuando lo considere oportuno.

Fibonacci y los Números Naturales

Ricardo
Oliveros
Ramos

Los antiguos griegos descubrieron que se podía dividir una línea de manera tal que la sección menor fuera a la mayor, como la mayor a toda la línea; y al haber encontrado tan hermosa proporción, no dudaron en pensar que debía existir una significación estética especial, casi mágica, razón por la cual los arquitectos griegos las usaron en su construcciones. Y, ¿cuál es esa proporción?. Asignémosle a la sección menor el valor de uno, y introduzcamos una incógnita para la sección mayor.

Recurriendo al álgebra podemos plantear la ecuación x/1=(x+1)/x, y mediante algunos artificios llegamos a la expresión equivalente x^2-x-1=0, la cual tiene por raíz:

1/2(1+Sqrt(5))=1,6180339...

Y esta fue la proporción que usaron, 1,618 a 1; la cual desde entonces, no ha dejado de maravillar a los matemáticos, por lo cual, a mediados del siglo XIX se le denominó "sección áurea". Planteemos ahora la siguiente pregunta: ¿Podemos encontrar números tales, que, restados de su cuadrado nos den cualquier entero deseado? Si planteamos la ecuación para obtener al 1, volvemos a encontrarnos con x^2-x-1=0, de la cual ya conocemos la respuesta. Ahora busquemos, un número tal, que al restarle su recíproco nos dé un entero cualquiera. Para el caso particular de que ese entero sea el 1, obtendríamos que x-1/x=1, y llegamos de nuevo a x^2-x-1=0, y con ella a la "sección áurea". Todo esto nos podía llevar a pensar que existe algo especial bajo este número. Un significado estético es algo discutible, y nos toparíamos con una serie de arbitrariedades, pero, ¿existe algo que nos haga suponer que hay algo más detrás de la "sección áurea" que una bella relación matemática?. Hagamos algo de historia.

A inicios del siglo XIII, Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, trabajaba en un problema acerca de cómo crecería una población de conejos bajo condiciones ideales. Para simplificar las cosas, consideró que se tenía una pareja de conejos jóvenes, en un campo con recursos ilimitados y sin depredadores. Todos los conejos sobrevivían. Supuso además que en cada camada nacerían dos conejos, los cuales serian nuevamente una pareja. Consideró además que cada pareja recién nacida debía crecer durante un mes para poder reproducirse. Siguiendo estas reglas, llego a la conclusión de que comenzando con una pareja de conejos, después de un mes tendría dos, al mes siguiente 3, luego 5 y luego 8. Cada mes se obtenía un numero de parejas igual a la suma de los dos meses anteriores. Esta sucesión le llamo la atención, la cual tiene por quince primeros términos a 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 y 610. Como veremos más adelante, estas condiciones poco reflejan la realidad y después de quince meses bajo esas condiciones habría mucho más de 1220 conejos.

Pero analicemos un poco más esta sucesión, conocida como la "Sucesión de Fibonacci".

La sucesión de Fibonacci empieza con dos unos y genera entonces nuevos números, cada uno de los cuales es equivalente a la suma de los dos anteriores. Es obvio que esta sucesión tiene infinitos términos, lo único que debemos hacer es seguir sumando.

Imaginemos ahora que tomamos la razón entre dos números sucesivos de la sucesión de Fibonacci. Tenemos 1/1=1; 2/1=2; 3/2=1,5 ; 5/3= 1,666 ; 8/5=1,6 ; 13/8= 1,625 ; 21/13= 1,61538... Vemos que la razón oscila, subiendo y bajando, manteniéndose siempre entre los valores anteriores. Si tomamos valores más altos, por ejemplo 610/377=1,61803713 ; vemos que se acerca sospechosamente a la sección áurea. Y efectivamente, si calculamos el límite al que tiende la razón de dos términos de la sucesión de Fibonacci cuando crecen infinitamente es 1/2(1+Sqrt(5)). Seria interesante pensar que los conejos crecen de la manera anterior, y que el "número de Fibonacci" tiene una significación especial en la naturaleza. Pero en realidad el crecimiento de este tipo viene dado por una relación exponencial, en función de la biomasa inicial, además de que el apareamiento sucesivo entre hermanos traería una drástica reducción de la variabilidad genética, la cual podría acabar rápidamente con la población.

Pero de hecho, hay especies que crecen tal y como supuso Fibonacci.

Bajo condiciones normales algunas especies de palomas ponen dos huevos, de los cuales, salvo algunas excepciones nacen siempre un macho y una hembra, además, en cautiverio, la pareja de pichones que nace forma una pareja al crecer. El tiempo de incubación es de dos semanas y los padres cuidan de los pichones por otras dos, mes después del cual vuelven a empollar. Esto sin duda se ajusta más al ejemplo anterior, y si ninguna paloma muere, la población crecería según la sucesión de Fibonacci, aumentando un término cada dos meses.

Sin embargo, a pesar de que Fibonacci dedico un capitulo de uno de sus libros a esta sucesión , no se preocupo de buscar ejemplos de esta en la naturaleza. Tratemos de ver algunos más.

Todos debemos haber visto alguna vez una margarita. Antes que nada, debemos saber que lo que normalmente consideramos como la flor es en realidad una inflorescencia, es decir una estructura de la cual nacen las flores; y lo que parecen pétalos son las flores. Además, aquellas minúsculas "florecitas" que se encuentran en el centro no son polen, sino efectivamente flores. Ahora hagamos una distinción. Las flores centrales son hermafroditas (tienen pistilo y estambres), las laterales son unisexuales, son o bien femeninas o masculinas. En cada inflorescencia hay 3 tipos de flores. Ahora, si alguna vez han contado el número de "pétalos" de una margarita amarilla, se habrán dado cuenta de que tiene 21, sin importar cuantas cuenten, siempre tiene 21. Antes de continuar, espero confíen en mí, y no intenten destrozar algún jardín. Seguimos. Si miramos con detenimiento las flores centrales, observaremos que forman espirales a partir del centro en dos sentidos opuestos. Si contamos los espirales en cada sentido, veremos que tienen 13 en uno y 21 en el otro ¿coincidencia?, si buscamos margaritas más grandes encontraremos que tienen 34, 55 e incluso 89 flores laterales. Si nos fijamos en las espirales del centro, tendrán 34 y 55; y, 89 y 144. Hay incluso girasoles aun más grandes con 144 y 233 espirales en el centro.

No sólo eso, podemos encontrar flores con tres pétalos como, el lirio o la azucena.; con cinco pétalos como, el botón de oro o la rosa silvestre (es curioso que las rosas mejoradas presenten 8 ó 13 pétalos). La lista continua, pero basta ya de angiospermas.

Veamos ahora el caso de las gimnospermas. Estas son plantas superiores, que se caracterizan porque producen sus semillas descubiertas. Su aparato reproductor está compuesto generalmente de elementos escamiformes, reunidos en espigas, raramente aisladas, frecuentemente conocidos como "piñas". Si observamos una piña, veremos que está compuesta de dos, tres o a veces cuatro espirales, las cuales giran en sentidos diferentes. Las piñas de pino, tiene espirales en pares consecutivos que siguen el patrón 3,5,8,13 ; cuatro términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. La piña "común y comestible", está formada por elementos hexagonales, formando juegos de tres espirales, las cuales siguen estrictamente la relación 5,8,13 ; 8,13,21 ó 13,21,34 ; ciñéndose siempre a la sucesión de Fibonacci.

Podemos observar la repetición de la sucesión en gran cantidad de plantas, desde en la disposición de las hojas alrededor de tallo hasta en la ramificación del mismo. Incluso en conjunto de Mandelbort (últimamente muy popular desde que a los 'supuestos extraterrestres' se les ocurrió estamparlo en diversos campos de cultivo) no se libra, pues las replicas cuasiautosimilares que conforman el fractal disminuyen de tamaño con relación a potencias de la sucesión de Fibonacci.

Podríamos considerar más ejemplos, como las espirales de los caparazones de ciertos moluscos, que siguen el ordenamiento de la espiral de Fibonacci (formada por arcos de circunferencia que aumentan con relación a 1,61803....), pero cabría preguntarse nuevamente, ¿qué tiene de especial el número de Fibonacci? ¿Existe algo mágico en la sección áurea? En general el crecimiento de las plantas obedece a patrones lógicos, que pueden expresarse de forma matemática, orientados siempre al ahorro de energía. Pero no siempre.

La respuesta aún no existe pero quizás el número de Fibonacci sea un verdadero número "natural".

Sol, Luna y Planetas

Javier
Armentia

Director del
Planetario
de Pamplona.

En Febrero el Sol transita por las constelaciones de Capricornio y Acuario (el día 17 se produce el cambio). La Luna está en cuarto creciente el día 1, llegando a llena el día 8. El resto del mes la luna decrece, pasando por el cuarto el 15 y la luna nueva el 23.

A comienzos del mes tenemos un bello espectáculo vespertino, justo tras la puesta de Sol: Mercurio se puede observar cerca del horizonte, hacia el Oeste-Suroeste, y sobre el, muy brillante, Venus. De hecho, Venus presenta este mes el máximo brillo de todo el año, y empieza a ser visible sobre la luz del crepúsculo mucho antes de que podremos identificar cualquier otra estrella.

Júpiter y Saturno son observables durante la primera parte de la noche, sobre la constelación del Toro (Tauro). El más brillante, Júpiter, se coloca entre Aldebarán, la estrella anaranjada que marca el ojo del Toro mitológico y el cúmulo de estrellas de las Pléyades. Saturno, más hacia el Oeste, tiene menos brillo, pero se localiza de manera sencilla.

Por completar los planetas visibles a simple vista, Marte es observable la última parte de la noche, en la zona correspondiente a las constelaciones de Balanza (Libra) y Escorpión (Scorpius), aumentando a lo largo del mes en brillo. La cercanía a Antares, la roja estrella del corazón del Escorpión, permite compararlos y comprender por qué precisamente los griegos llamaron a esta estrella "la rival de Marte".

En Marzo, el Sol entra en la constelación de los Peces (Pisces) desde Acuario el día 12, y transitará por ella hasta el 18 de abril. Pero entre el 27 y el 28, durante unas 12 horas, toca otra constelación, la de Cetus, un monstruo marino de la mitología griega. El 20 de marzo, a las 14:31 de hora civil, el Sol alcanza el Ecuador Celeste, comenzando así la primavera astronómica.

La Luna comienza el mes creciendo (Cuarto Creciente el 3) llegando a Luna Llena el 9. El Cuarto Decreciente es el 16 y la Luna Nueva el 25. Los últimos días de mes un fino creciente lunar se puede observar cerca Saturno y Júpiter, que continúan en la zona del Toro (Tauro), siendo visibles todo el mes durante la primera parte de la noche. Venus sigue como lucero vespertino, aunque a finales de mes se acerca ya más al Sol (aparentemente), visto desde nuestro planeta, claro) y dejaremos de verle durante unas semanas. Por su parte, Marte sale poco más o menos a medianoche, en Ofiuco, cerca de la estrella Antares del Escorpión (Scorpius). Finalmente, a comienzos de Marzo todavía es posible observar Mercurio antes del orto solar, como lucero matutino.

El Cielo de 2001

Avanzamos hacia el final del invierno, y el observador del cielo puede comprobar cómo cada noche Orión, la constelación más señalada del cielo de esta época, aparece cada vez más hacia el Suroeste. La Vía Láctea recorre, a medianoche, el cielo de Norte a Sur, pasando por constelaciones que, ayudados por un atlas celeste o un planisferio, podemos localizar fácilmente: hacia el Norte está Cefeo, cerca de Casiopea (una constelación que aparece como una "W" o una "M"). Sobre ella, hacia el Noroeste, está Perseo. Siguiendo, ya sobre el Este, por encima del Toro, de Júpiter y Saturno, tenemos el exágono de estrellas que llamaron los antiguos Auriga, el Cochero. La más brillante de sus estrellas es Capella, es decir, la cabritilla. Luego están los gemelos, Gemini, y la zona de los perros de Orión, el Perro Menor, donde brilla Proción, y el Perro Mayor, donde está la estrella más brillante del cielo, Sirio.

Sobre nuestras cabezas, a medianoche, tenemos ya la constelación del Cangrejo (Cáncer), no muy notable por sus estrellas, pero donde podemos encontrar, incluso a simple vista una manchita que, usando prismáticos, descubrimos como un cúmulo de estrellas: el Pesebre.

En Marzo, ya tenemos el cielo típico del comienzo de primavera, de manera que al comienzo de la noche todavía vemos las constelaciones del invierno, derivando hacia el Oeste (el Toro, Auriga, los Gemelos, Orión y sus perros...), mientras que van culminando el Cangrejo (Cáncer), el León (Leo) y, más tarde, la Virgen (Virgo), por mencionar a las constelaciones zodiacales de esta banda de cielo. Es una buena época para ver la Osa Mayor, que aparece sobre la Menor, la que contiene a la estrella Polar.

Si prolongamos las estrellas que forman el mango de ese cazo que parecen conformar las siete estrellas más brillantes de la Osa Mayor, el arco nos lleva en el cielo a una estrella muy brillante (la segunda más brillante visible desde nuestras latitudes) de color anaranjado. Se trata de Arcturus, en la constelación del Boyer (Bootes). Un arco que podemos seguir curvando en el cielo hasta llegar a la Eclíptica dando con la estrella Spica en la Virgen. Bajo el León y la Virgen, tenemos un hilo de estrellas que es la constelación de la Hidra, en la que la estrella más brillante es Alfard, la solitaria.

La Constelación del Mes

La Constelación de Febrero: Cefeo, El Rey Incendiado

Cuenta la leyenda que Cefeo era rey de Etiopía, esposo de Casiopea. A Cefeo se le suele representar como un rey incendiado, con su cabeza ardiendo. No es una constelación con estrellas muy brillantes, destacando Alderamín (Alfa), Rai (Gamma) y Alfirk (Beta). El nombre árabe de la primera estrella significa "hombro derecho", los otros dos son respectivamente "pastor" y "rebaño".

Sin embargo, la estrella más famosa de esta constelación es Delta Cephei, una estrella variable, es decir, cuyo brillo cambia con un periodo de aproximadamente cinco días y medio. La estrella es una variable pulsante, porque está continuamente aumentando y disminuyendo su tamaño, entre 32 y 35 veces el radio solar. Ese cambio cíclico de tamaño, que también conlleva un cambio en su color apreciable con instrumentos, es común a un tipo de estrellas que se denominan "cefeidas". Las cefeidas han sido muy utilizadas en astrofísica para poder determinar distancias, porque el periodo de variabilidad está relacionado con el brillo intrínseco de la estrella. De esta manera, observando cefeidas en galaxias lejanas, se puede estimar cuán lejos están.

La Constelación de Marzo: El Rey León

Se suele decir que es una de las constelaciones cuyo nombre y dibujo coinciden. Pero, como suele pasar, esto es una cosa de echarle más bien mucha imaginación. Las estrellas más brillantes de Leo, en efecto, parecen formar un cuadrado (el cuerpo) que tiene hacia el Oeste una especie de hoz, o signo de interrogación invertido, que podríamos tomar por la cabeza y la melena, debajo de la que tenemos a la estrella más brillante de la constelación: Régulo (el reyezuelo), una estrella que se sitúa justo sobre la eclíptica. Hacia el Este, en el lado contrario, podemos imaginar que la cola acaba en un penacho, la estrella Denébola. Otras personas, sin embargo, podrían pensar más en una plancha antigua que forman estas estrellas...

La mitología sin embargo, nos trae aquí al León que mató Hércules con sus manos y cuya piel cortó usando las mismas garras de la bestia, resistentes a todo tipo de armas. En el cielo, este león presenta un buen espectáculo para la observación con prismáticos o un pequeño telescopio. Si imaginamos una línea que une las dos estrellas más brillantes, las mencionadas Régulo y Denébola, bajo ellas, hacia el horizonte Sur a media noche encontramos varias galaxias espirales, como M65, M66, M95 y M96, números del catálogo de objetos difusos de Messier.

Noticias

1- Galaxias Fantasmas

El término puede parecer poco afortunado, aunque desde luego es llamativo. Y el descubrimiento realizado por astrónomos de la Universidad de Cambridge (Reino Unido) no lo es menos: objetos similares en masa a una galaxia, pero que no emiten luz.

Obviamente, no han sido observadas estas galaxias con telescopios, pero su presencia parece deducirse de la observación de otras galaxias que están en proximidad de estos "fantasmas". Por ejemplo, UGC 10241 es una galaxia que presenta un chorro de materia que escapa de ella, similar al que se observa en otras galaxias que están sufriendo procesos de interacción con otra. Pero a su lado no aparece otra galaxia. Hay que decir que la colisión de dos galaxias es un fenómeno relativamente normal en el Universo, debido a que las distancias entre estos objetos no son tan grandes (comparativamente a sus tamaños). Normalmente se observan las dos galaxias. Pero, ¿y si una de ellas estuviera compuesta de "materia oscura", un tipo de materia que se especula que puede existir en el Universo y que no emite luz? Tendríamos así la evidencia gravitatoria de estas galaxias fantasmas, que según los autores del estudio podrían incluso superar en un factor de 100 a 1 a las galaxias visibles.

2- Nuevos Exoplanetas

El censo de planetas extrasolares aumenta, acercándose a la centena el número de estrellas en torno a las cuales podrían existir. La confirmación visual, es decir, la observación por vez primera de un planeta que orbite en torno a otra estrella, aún no ha llegado: los planetas son mucho menos brillantes que las estrellas en torno a las cuales orbitan, y además las grandes distancias que nos separan de las estrellas hacen que con los instrumentos actuales aún no sea posible resolver en una imagen un planeta junto a su estrella. Pero las evidencias existen, debido a que la misma fuerza gravitatoria que liga al planeta a su estrella hace que la estrella se desplace rítmicamente. Analizando los movimientos de las estrellas, diversos programas de investigación están permitiendo inferir la presencia de exoplanetas.

Recientemente, se ha dado a conocer la presencia de un planeta en torno a una estrella doble, CM Draconis. Lo particular del caso es que, por un lado, este planeta orbita en torno a las dos estrellas (que están muy cerca una de la otra). Pero además, la distancia de este planeta al sistema doble es tal que la temperatura del mismo podría ser similar a la de nuestra Tierra. La especulación está servida: ¿tendrá agua?. Y un poco más allá... ¿Habrá vida?

3- La MIR se va al Océano

El próximo día 7 de Marzo de 2001, la estación espacial rusa MIR dejará de orbitar en torno a la Tierra una vez cada hora y media. Los responsables de la misión han fijado esa fecha para proceder a su desmantelamiento por fricción atmosférica. En esencia, la maniobra es sencilla: hacerla cambiar de órbita para estrellarla contra nuestro planeta.

La MIR es un objeto del tamaño de un camión con remolque, con aproximadamente 150 toneladas de peso. Al entrar a gran velocidad (unos 28.000 km/h) en nuestra atmósfera, la fricción provocará una enorme trepidación que desguazará la estructura metálica, fragmentándose así en multitud de trozos más pequeños que se quemarán por las altas temperaturas.

Sin embargo, se estima que una tercera parte de la estación no se quemará en la atmósfera y caerá al suelo. Más bien al mar, en un punto a unos 2000 km al Este de Australia, en pleno Océano Pacífico, que es donde los responsables de la misión van a dirigirla para evitar daños materiales y humanos.

Esperemos que todo vaya bien y no pase como en otras ocasiones: en el 79 los americanos hicieron lo mismo con el laboratorio Skylab, pero un fragmento cayó sobre el desierto central australiano; más recientemente, en 1991, los restos de la estación rusa Salyut- llegaron a los Andes chilenos.

4- Nueva Confirmación del "BIG-BANG"

El modelo cosmológico estándar, la teoría conocida con el nombre de "gran explosión" o "big-bang", predice que en el pasado nuestro Universo era mucho más denso y más caliente de lo que lo es en la actualidad. El enfriamiento y enrarecimiento del Universo se ha producido por una expansión que sigue su marcha.

Diferentes aspectos de la teoría, que se engloba dentro del marco de la llamada Teoría de la Relatividad General, desarrollada por Albert Einstein en el segundo decenio del siglo XX, han sido comprobados observacionalmente, dotando a esta cosmología de mucho peso: no existen, además, teorías alternativas que puedan explicar lo que observamos del Universo.

Pero hasta fechas recientes no se habían podido realizar mediciones de la temperatura del Universo en diferentes épocas. La observación de objetos lejanos, como los cuásares, proporciona ahora, que se dispone de grandes telescopios capaces de analizar con precisión la luz que nos envían estos objetos, un nuevo método de medida. Los cuásares están tan lejos que su luz lleva viajando una gran parte de la vida del Universo. Dicho de otra forma: cuando los observamos ahora, estamos recibiendo información de cómo eran hace más de 10.000 millones de años. A partir de análisis de esa luz, un equipo internacional de astrónomos franceses e indios, han podido comprobar la temperatura del Universo cuando éste tenía unos 2.500 millones de años de edad, una quinta parte de la edad actual, confirmando las predicciones teóricas.

Foto:
http://www.eso.org/outreach/press-rel/pr-2000/pr-27-00.html

5- La Nube de los Cometas

Según las teorías que explican la formación de los planetas, parte del material que no se invirtió en planetas, lunas o asteroides quedó en torno al Sol en la llamada Nube de Oort, a gran distancia de la estrella. Esta nube es el lugar donde están los cometas, núcleos de hielo, roca y polvo que, según las estimaciones, podrían ser más cien millones de cuerpos sólidos.

Inestabilidades gravitatorias (como podría ser el paso relativamente cercana al Sol de una estrella) pueden alterar periódicamente la nube de Oort, haciendo que muchos cometas emprendan una caída hacia el interior de nuestro sistema solar.

Según nuevas estimaciones, sin embargo, los modelos anteriores podrían haber sobreestimado en un factor 10 la masa de esa nube. Investigadores norteamericanos han realizado modelos de cómo se formó el sistema planetario, incorporando colisiones entre los cuerpos iniciales que podrían haber acabado con muchos de estos protocometas. Si estos modelos se confirman, la nube de Oort podría ser menos densa de lo que se pensaba.

6- El Primer Turista Sube al Espacio

En la expedición rusa que sube a la Estación Espacial Internacional  (ISS) dentro de mes y medio hay un pasajero muy excepcional: Denis Tito, un multimillonario que firmó hace un par de años un acuerdo con la agencia espacial rusa para realizar un viaje espacial. En principio, el contrato (de una cantidad no publicitada por ninguna de las partes) era para realizar un viaje y una estancia en la estación Mir. Sin embargo, como la Mir va a ser lanzada contra el Océano Pacífico el día 7 (si todo sale bien), se ha decidido que Tito acompañe a los cosmonautas Talgat Musabeyev y Yuri Baturin para una permanencia de varios meses en la nueva estación orbital. Actualmente, el norteamericano está teniendo un programa acelerado de entrenamiento en el centro de cosmonautas Yuri Gagarin.

Según el rotativo El País (26.02.01) la aportación económica de D. Tito será de 20 millones de dólares por una plaza en la nave Soyuz y una estancia de diez días en la ISS.  

No han sido pocas las críticas por esta inclusión, motivada únicamente por la necesidad rusa de conseguir dinero para sus proyectos espaciales. Pero no es nuevo del todo: muchas misiones de la Mir tuvieron patrocinio de empresas privadas, e incluso el propio Baturin es más político que astronauta (fue secretario del Consejo de Seguridad ruso). Los socios internacionales de la ISS están preocupados porque las labores que deben hacer los cosmonautas son complejas, y requieren una gran preparación.

7- Las Formas de las Nebulosas Planetarias

Viendo la imagen obtenida recientemente por el telescopio espacial Hubble de la nebulosa planetaria Menzel 3 (Mz3), bautizada "Nebulosa de la Hormiga", se percibe la belleza de las fuerzas del Universo, cómo convierten las fases finales de la vida de una estrella como el Sol en un verdadero espectáculo. Los investigadores están empezando a comprender de dónde vienen estas formas, que van desde el anillo más sencillo a los complicados filamentos de colores de Mz3.

Cuando los combustibles nucleares de la estrella se acaban, las capas exteriores de su atmósfera se escapan hacia el espacio, empujadas, según se ha sabido de nuevos modelos teóricos y de las observaciones, por potentes fuerzas generadas por los campos magnéticos que se intensifican en el núcleo, de manera que el gas ionizado (como sucede en los fenómenos activos solares) se mueve por estas líneas de campo, a veces simétricos, otras caóticos. Otras veces, la presencia de una estrella compañera puede afectar, por las fuerzas de marea, la forma en que se produce la eyección de gas. El resultado es a veces tan complejo como en esta Nebulosa de la Hormiga.

Imagen en http://oposite.stsci.edu/pubinfo/pr/2001/05

8- ¿Dónde Apareció la Vida?

La vida terrestre tiene, en opinión de la mayoría de los científicos, un origen en nuestro propio planeta. Los biólogos intentan conocer las condiciones y los procesos que tuvieron lugar hace entre 4.000 y 3.800 millones de años, época en la que apareció la vida en la Tierra. Por aquel entonces, nuestro planeta era muy diferente del de ahora, con una atmósfera rica en metano, amoníaco, dióxido de carbono, con océanos recién formados, más cálido... Quizá esas fueron las condiciones en que las moléculas pudieron ir haciéndose lo suficientemente complejas como para disparar los procesos bióticos.

Sin embargo, otros científicos opinan que esos primeros pasos podrían darse en el espacio: en experimentos relacionados en el Centro Ames de Investigación, de la NASA, en California (EEUU), se han reproducido las extremas condiciones del espacio interestelar: frío, radiación... y han comprobado que ciertas moléculas pueden crear una especie de envolturas similares a las membranas celulares. De confirmarse, esto podría implicar que la vida, al menos sus primeros pasos, no tienen por qué darse en un planeta donde, eso sí parece confirmado, se puede desarrollar y hacer más compleja.

Del 15 al 18 de Febrero 2001 
   Geometría Simpléctica con Técnicas Algebraicas (GESTA)
   Facultat de Matemàtiques i Estadística, UPC 
   INFORMACIÓN:
   http://www-ma1.upc.es/personal/amoros/gesta.html

¿Quieres anunciar algún evento matemático? Envíanos un correo a poniendo como asunto del correo "Evento BMMI" y comentándonos un poco el tipo de evento.

Thales de Mileto

Nació alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor
Falleció alrededor del 560 AC en Mileto, Asia Menor

Thales era un hombre esencialmente práctico : comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios.

Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lugares para hacer el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.

Como astrónomo fue más célebre, predijo el eclipse total de sol Visible en Asia Menor, como asimismo se cree que descubrió la Constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol. También se cree que conoció la carrera del sol de un trópico a otro. Explicó los eclipses de sol y de luna. Finalmente creía que el año tenía 365 días.

A Thales se le atribuyen 5 teoremas de la geometría elemental:

1- Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son guales.
2- Un círculo es bisectado por algún diámetro.
3- Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales.
4- Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.
5- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Thales busca el fundamento natural de las cosas y cree, al respecto, que el principio originario, la sustancia primordial de todas las cosas, es el agua. Pensaba así mismo que el agua llenaba todo el espacio. Se imaginaba a la Tierra como un gran disco flotando sobre las aguas, sobre la cual existiría una burbuja hemisférica de aire, nuestra atmósfera sumergida en la masa líquida. La superficie convexa de la burbuja sería nuestro cielo y los astros según expresión de Thales "Navegarían por las aguas de arriba"

Escribió un libro de navegación y se decía que uso la Constelación de la Osa Menor que él había definido como una característica importante de la navegación.

Se creé que Thales pudo haber sido el maestro de Anaximandro y que fue el primer filósofo natural de la escuela Milesiana. 

Su busto se exhibe en el museo del Capitolio en Roma, pero no es contemporáneo de Thales.

Pitágoras de Samos

.- Nació alrededor del 580 AC en Samos, Ionia.
.- Falleció alrededor del 500 AC en Metapontum, Lucania.

Era originario de la isla de Samos, situada en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse a esta forma de gobierno, emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa. Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Ellos se reunían para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad.

En la Escuela Pitagórica podía ingresar cualquier persona, ¡hasta mujeres!. En ese entonces, y durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en las escuelas.

Se dice que Pitágoras se casó con una de sus alumnas. 

El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre si, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). 

Debido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, influencia que era contraria a las ideas democráticas existentes, se produjo, tal vez, después del año 500 una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta popular en Metaponto.

Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el encadenamiento lógico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros días.

La base de su filosofía fue la ciencia de los números, y es así como llegó a atribuirles propiedades físicas a las cantidades y magnitudes. Es así como el número cinco era el símbolo de color; la pirámide, el del fuego; un sólido simbolizaba la tetrada, es decir, los cuatro elementos esenciales : tierra, aire, agua y fuego.

http://elparaiso.mat.uned.es >> Historia <<

¿Quieres ver aquí publicada la dirección de tu página web? Recomiéndanosla enviando un correo poniendo como asunto del correo "Enlaces BMMI" y comentándonos un poco que podemos encontrar en la página. 

José Alfredo
Cañizo
Rincón

El 7-5-3. Enunciado 

Es sorprendente que en los juegos en los que no interviene el azar como el ajedrez, el cuatro en raya o similares, deba haber siempre una estrategia perfecta para alguno de los dos jugadores de forma que si la siguiese, ganaría siempre sin importar lo que hiciera su contrario (o tal vez haría tablas, en el caso en que las reglas permitan empates). Un resultado así se puede demostrar en teoría de juegos, aplicable en juegos en los que hay un número finito de estados posibles. Por "estado" se entiende un conjunto de datos que especifican completamente la posición de una partida, de forma que si se dejase de jugar se pudiese continuar más tarde donde se dejó sólo con dichos datos.

En el caso del ajedrez, por ejemplo, está claro que las piezas sólo pueden estar colocadas sobre el tablero de un número determinado de formas posibles (y el resto de los datos que determinan el estado del juego, como por ejemplo si los jugadores han realizado un enroque en jugadas anteriores, se puede también  especificar de forma finita); otra cosa muy distinta sería saber cuántas posiciones posibles hay, que son con seguridad un número intratable para cualquier propósito práctico. Lo bonito del resultado es que sabemos que hay una estrategia perfecta para alguno de los dos jugadores, aunque no tengamos ni idea de cuál es ni para cuál de los dos.

Hay juegos muy conocidos en los que sí se puede comprobar esto directamente. Por ejemplo, en el tres en raya, aunque el número de posiciones es grande, cualquiera que juegue unas cuantas veces se da cuenta de que el jugador que empieza siempre puede empatar, al menos, y ganar si su adversario comete algún error.

En muchos otros juegos simples pasa lo mismo, como por ejemplo en éste, que es menos conocido.

Se toman quince cerillas y se colocan en tres filas de tres, cinco y siete cerillas respectivamente, de la forma siguiente:

III
IIIII
IIIIIII

Las reglas son sencillas: se juega por turnos después de acordar quién empieza, y en su turno cada jugador puede retirar tantas cerillas como desee, siempre que sean de la misma fila (y debe retirar por lo menos una). Pierde el jugador que retire la última cerilla. Por ejemplo, al comienzo de una partida, el que empieza podría quitar la fila de las siete cerillas completa. Luego, el siguiente podría quitar dos cerillas de la de cinco, luego el primer jugador quitar las tres que faltan de esa fila, y finalmente el segundo jugador quitar dos cerillas de la de tres, con lo que el primero pierde.

Sabemos que uno de los dos jugadores tiene una estrategia perfecta para jugar, de forma que gana siempre. ¿Cuál de ellos es? ¿qué estrategia debe seguir?

Podéis enviar las soluciones a:  José Alfredo Cañizo Rincón

La solución aparecerá en el próximo número.

Carlos
Gombau
García

Windows VS Linux
¿cual es el S.O. idóneo para matemáticas? 

Casi todos estamos habituados a usar el sistema operativo del 'Goliat' informático que todo lo abarca, es decir, Microsoft Windows, en cualquiera de sus versiones. Su entorno gráfico, su fácil manejo, pero ante todo, la confianza en él de los desarrolladores de software, y por lo tanto, la supremacía frente a otros sistemas operativos en cuanto a software apto para él, lo hacen difícil de destronar por parte de sus rivales.

Pero, ¿qué hay más allá de Windows? Existen decenas de sistemas operativos, pero quizás del que más se habla, con permiso de Microsoft, es del laureado Linux en alguna de sus múltiples distribuciones. ¿Cuál es la razón? Entre otras, es un sistema operativo multitárea y multiusuario, concebido originalmente para funcionar bajo ordenadores con procesadores Intel. Podríamos decir que Linux es un producto de Internet. Es el resultado final de la idea, con punto de partida en UNIX, de obtener un sistema operativo completo, eficaz, estable y lo más importante, de libre distribución. Si no fuera por Internet, quizás Linux no sería lo que es en el  día de hoy, un 'David' que reta a 'Goliat' en la pugna sobre el trono de los S.O., aunque también sea dicho, sino fuera por la RED de Redes, quizás Microsoft no habría conseguido terminar de abrir su 'Ventana' para 'Explorar' el mundo.

¿Y cual es preferible para uso científico - técnico? Es ahí donde nadie se pone de acuerdo, y nosotros tampoco os vamos a dar la solución. Cierto es que hasta el día de hoy, los programas más usados de matemáticas, Mathematica, Derive, Maple, Math Cad y Math Lab, han corrido siempre bajo Windows, aunque parece ser que las tornas están cambiando, y ya en los ultimas años, los fabricantes ofrecen versiones de su software para Linux. ¿Por que será? Son muchos los programadores que trabajan con el objetivo de que Linux sea una alternativa seria a los sistemas operativos comerciales, y cabe esperar rápidos progresos en esta área.

Seguro es, que hoy por hoy Windows es el sistema más extendido y que más software posee (sea del tipo que sea), pero a nivel técnico Linux no se queda atrás. Basta darse un paseo por http://sal.kachinatech.com/index.shtml (servidor que presume de tener la colección de todos los programas científicos de Linux) para ver que hay multitud de buenos programas de matemáticas para Linux que cuentan con un punto a favor, y es que la gran mayoría se distribuyen bajo licencia GPL(General Public Licence). Esto quiere decir, que se pueden distribuir gratuitamente, siempre y cuando con ellos se entregue también el código fuente. Ante la misma calidad de pago o gratuita ¿qué elegirías?

El debate está servido, y seguramente no seamos ni los primeros ni los últimos que nos preguntamos cual es el sistema más idóneo (entre Windows y Linux) para dar vida a nuestras fantasías matemáticas.

Y tu, ¿qué prefieres? Seas o no miembro de nuestra lista de correo Matracas, puedes votar en:

http://groups.yahoo.com/group/matracas/polls

Los resultados aparecerán en el próximo número.

Estadísticas del Paraíso de las Matemáticas

[Diciembre 2000]
 Visitas: 63.198 visitas.
 Páginas vistas: 320.966 páginas.
 KBytes servidos: 20.387.308 KBytes.
 Archivos servidos: 1.886.846 archivos.
 Correos en Matracas: 222 correos.
 Correos en Consultas: 270 correos.

[Totales  año 2000]
 Visitas: 533.020 visitas.
 Páginas vistas: 3.064.029 páginas.
 KBytes servidos: 181.298.630 KBytes.
 Archivos servidos: 17.359.246 archivos. 
 Correos en Matracas: 3.722 correos.
 Correos en Consultas: 2.273 correos.

[Enero 2001]
 Visitas: 75.031 visitas.
 Páginas vistas: 403.761 páginas.
 KBytes servidos: 25.247.748 KBytes.
 Archivos servidos: 2.421.865 archivos.
 Correos en Matracas: 395 correos.
 Correos en Consultas: 311 correos.

[Otros]
 Suscritos a Matracas [27/Febrero/2001]: 671 suscritos. 
 Suscritos a Consultas [27/Febrero/2001]: 17 suscritos. 
 Suscritos a BMMI [27/Febrero/2001]: 345 suscritos.

Participa en BMMI
Si tienes opiniones o artículos que deseas ofrecer en colaboración puedes enviárnoslos mediante el formulario disponible en:
http://elparaiso.mat.uned.es >> Únete a Nosotros >> BMMI

Nos adherimos a la Ley Orgánica 15/1999 del 13 de Diciembre, (Ley Española de Protección de Datos Personales) por la que tu puedes solicitar tu eliminación de las Bases de Datos que desees (BOE 14-12-99).

BMMI y el Paraíso de las Matemáticas no se hacen necesariamente solidarios con las opiniones vertidas en los artículos firmados. Prohibida la reproducción por cualquier medio o soporte de los contenidos de esta publicación, en todo o en parte, sin permiso de los editores.

"Boletín Matemático para Mentes Inquietas (BMMI)"
El Paraíso de las Matemáticas (c) 2001

Editan
  Carlos Gombau
  Antonio Luis Martínez
  José Alfredo Cañizo
  Ricardo Oliveros

Agradecimientos a
 Manuel Castellet
 Elisenda Font
 Javier Armetia
 Revista Pharus

El Paraíso de las Matemáticas
  Web: http://elparaiso.mat.uned.es

Otras Replicas
  Web: http://paraiso.ii.uned.es

Lista de Correo Matracas
  Web:  http://groups.yahoo.com/group/matracas

Si deseas SUSCRIBIRTE, hazlo a partir del siguiente enlace:
http://

De la misma forma, si deseas DE-SUSCRIBIRTE del boletín, puedes realizarlo utilizando el siguiente enlace :
http://

http://groups.yahoo.com/group/matracas

volver