Sección Áurea de un segmento
Se dice que un punto C divide
al segmento AB en la proporción áurea cuando, siendo AC la parte
mayor en la que AB queda dividido por el punto C, se cumple: AB/AC
= AC/CB.
A la parte mayor en la que
AB queda dividido por C se la llama segmento áureo del segmento
AB.
El problema de la división
áurea de un segmento fue resuelto por Euclides en los Elementos
II. 11, y desde entonces ha sido asunto de interés para los matemáticos
de todos los tiempos.
División Áurea de un segmento
El siguiente applet muestra
la forma de dividir un segmento AB en dos partes, AC y CB, de
forma que AC y CB estén en la proporción áurea (AC/Cb = nr. áureo).
Se traza la perpendicular
al segmento por B, se lleva la longitud MB (M punto medio del
segmento) sobre la perpendicular para obtener D. Se dibuja el
segmento AD. Con centro en D se traza la circunferencia de radio
CB para obtener el punto E sobre AD. Con centro. Ahora se dibuja
la circunferencia con centro en A y radio AE para obtener el punto
C sobre el segmento AB.
La comprobación es sencilla
(comprobar que AC/CB = (1+raiz(5))/2)
Construcción Áurea de un rectángulo Áureo
El siguiente applet muestra
la construcción del rectángulo áureo ( lados en proporción áurea)
a partir de un cuadrado ABCD. Basta tomar el punto E, punto medio
del segmento AB, como centro de una circunferencia de radio EC
para obtener el punto F.
La comprobación es sencilla
( AF y AD están en la proporción áurea; AF/AD = nr. áureo).
Está muy extendida la opinión de que
los rectángulos áureos están presentes de forma intuitiva en muchas
producciones artísticas del ser humano (pintura, escultura, arquitectura,
etc.), así como en numerosos objetos de uso cotidiano. También
se asegura que está presente en la naturaleza: forma de conchas
de animales, en el crecimiento en el mundo vegetal, etc. Se justifican
estas afirmaciones en el supuesto carácter armonioso de sus proporciones
que lo hace más agradable que otras proporciones distintas. Esta
opinión, a pesar de estar muy extendida, cuenta con detractores.
Algunos de ellos sostienen que en los estudios que se han realizado
para llegar a estas conclusiones no se han tenido en cuenta los
márgenes de error en las medidas utilizadas como referencia. Otros
destacan la falta de rigor de muchos estudios estadísticos realizados
con el fin de averiguar las preferencias medias de un grupo de
individuos.
Lo que es innegable es que
en el mundo de la matemática y de la geometría la proporción áurea
aparece en infinidad de contextos distintos y que el número áureo
ocupa un lugar destacado junto a otras famosas constantes: el
número pi, el número e, etc.
