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LO DIJO...

Henri Poincare  
 
La ciencia son hechos; de la misma manera que las casas están hechas de piedras, la ciencia está hecha de hechos; pero un montón de piedras no es una casa y una colección de hechos no es necesariamente ciencia.
 
El Paraíso de las Matemáticas - Geointeractiva ~ Prácticas con Cabri II
.: Geointeractiva ~ Cabri :.
Prácticas con Cabri II

    En esta página se proponen diversos ejercicios con la intención de que al realizarlos se adquirirá soltura en el uso del programa. La finalidad de estos ejercicios no es demostrar, ni aprender propiedades geométricas concretas, sino familiarizar al que utiliza el programa por primera vez con el entorno del programa. Los ejercicios no se tienen que realizar necesariamente en el orden en el que aquí aparecen. Es preferible elegir los que parezcan más atractivos e intentar realizarlos en el orden que se desee.

Ejercicio 1: Iniciación

    Para empezar, conviene practicar libremente con las herramientas disponibles en la barra de herramientas. Para ello puedes empezar utilizándolas y comprobando el funcionamiento de cada una de ellas descrito en la primera parte del tutorial.

    Es conveniente también analizar los menús que ofrece la "barra de menús" y que, en líneas generales, se parece al de la mayoría de los programas.

Ejercicio 2: Lugares Geométricos

Lugar geométrico: EJEMPLO 1:

    Halla el lugar geométrico descrito por el incentro de un triángulo ABC inscrito en una circunferencia cuando uno de sus vétices, por ejemplo C, recorre la circunferencia. (A y B permanecen fijos).

    Dibuja una circunferencia (herramienta "circunferencia", 4º grupo de herramientas), dibuja un triángulo cuyos vértices estén sobre la circunferencia (herramienta "triángulo", tercer grupo de herramientas), etiquete los vértices como A, B y C ("etiqueta", penúltimo grupo).

    Dibuja dos bisectrices señalando el extremo, origen y extremo de los ángulos, por ejemplo: A, C, B para la bisectriz del ángulo C y, a continuación: A, B y C para la bisectriz del ángulo B (herramienta "bisectriz", quinto grupo).

    Comprueba que todo funciona bien: mueve con la herramienta puntero (primer grupo) sucesivamente los tres vértices y comprueba que la construcción se modifica correctamente

    Coloca un punto en la intersección de las dos bisectrices (herramienta "punto") y etiquétalo como I.

Oculta las bisectrices.

Utiliza ahora la herramienta lugar geométrico (quinto grupo: ), señala primero el punto que va a dibujar el lugar, es decir el incentro I, y, a continuación, el punto del que depende el lugar geométrico, es decir C.

    Inmediatamente aparecerá el lugar geométrico buscado: dos arcos con extremos en A y en B (los extremos no pertenecen al lugar).

Utiliza ahora la herramienta "grosor" en el último grupo y selecciona el lugar geométrico obtenido.

    A continuación selecciona la herramienta "color", también en el último grupo, selecciona el color verde y marca el lugar geométrico. El resultado obtenido será parecido al de la siguiente imagen:

(Ejercicio para el profesor: buscar dónde están los centros de los arcos de forma experimental con Cabri. Después tratar de demostrar formalmente el resultado obtenido con Cabri)

Lugar geométrico: EJEMPLO 2:

    Halla el lugar geométrico descrito por el baricentro de un triángulo inscrito en una circunferencia cuando se mueve uno de sus vértices sobre la circunferencia. Se realiza de forma parecida al ejercicio anterior.

Lugar geométrico: EJEMPLO 3:

    Dibuje una curva podaria siguiendo las siguientes instrucciones. Se considera una circunferencia y sobre ella un punto fijo O. Se pide dibujar el lugar geométrico descrito por las proyecciones de O sobre las rectas tangentes a la circunferencia. (Se debe situar otro punto P sobre la circunferencia, dibujar el radio correspondiente a P, obtener la recta tangente a la circunferencia en P como recta perpendicular al radio que pasa por P; grupo cuarto. Traza, a continuación la recta que pasa por O y es perpendicular a la tangente. El punto de corte lo llamaremos H. Utiliza la herramienta "lugar geométrico" y señala primero el punto que dibuja el lugar, es decir H, y, después, el punto del que depende la construcción, P.) Las curvas obtenidas de esta forma se llaman podarias y en este caso concreto la podaria obtenida es una cardioide:

Ejercicio 3: Macros

    Se llama macro a la automatización de un proceso largo que se piensa repetir muchas veces. Por ejemplo, si deseamos trabajar con propiedades de triángulos en las que intervenga el baricentro, estaremos obligados a repetir muchas veces el proceso de obtención del baricentro como intersección de dos de sus medianas . Se recurre entonces a la creación de una macro sencilla que permitirá obtener el baricentro de forma inmediata a partir de un triángulo.

    Veamos el proceso en detalle:

    Primero abriremos un archivo nuevo, dibujaremos un triángulo (herramienta "triángulo"), obtendremos los puntos medios de dos de sus lados (herramienta "punto medio"), dibujaremos las dos medianas correspondientes (herramienta "segmento"), obtendremos el punto de intersección (herramienta "punto") y habremos terminado la construcción del baricentro de ese triángulo.

    Si tenemos previsto repetir a menudo esta construcción podemos crear una "macro".

    Para ello seleccionaremos en el grupo de herramientas correspondiente (el séptimo, grupo "macros") "objetos iniciales" pulsaremos sobre el triángulo, seleccionaremos a continuación "objetos finales" y marcaremos el baricentro. A continuación deberemos seleccionar "definir macro" y se abrirá una ventana en la que deberemos asignar obligatoriamente un nombre a la macro en la casilla "nombre de la construcción", por ejemplo" construcción baricentro". Si lo deseamos, podemos asignar un nombre al primer objeto final de la macro. En este ejemplo sólo hay un objeto final. Llamaremos al objeto final baricentro; para ello hay que rellenar la casilla correspondiente escribiendo "baricentro". Luego veremos para qué sirve.

    En "ayuda para esta macro" podemos escribir una pequeña explicación del funcionamiento de la macro. Esta explicación estará disponible cuando posteriormente vayamos a utilizar la macro si tenemos activada la ayuda del programa ("barra de menús"). Tendremos así disponible en la parte inferior de la ventana estas explicaciones que nos permitirán recordar con qué finalidad fue diseñada y cómo funciona.

    El cuadrado junto con la herramienta de colores permite diseñar un icono, que será asociado a la macro en el grupo de herramientas. Si no queremos complicarnos la vida no haremos nada y aparecerá la clásica M.

    En el caso de que no activamos la casilla "guardar como archivo" la macro quedará asociada al archivo concreto con el que estemos trabajando y cada vez que abramos ese archivo tendremos disponible la macro. Si queremos utilizar la macro en cualquier momento, trabajando con cualquier otro archivo, hay que activar esa casilla. El programa, en ese caso, nos pregunatará por el nombre del archivo macro (*.mac) y por el directorio donde deseamos guardarla. Posteriormente cuando queramos utilizarla en otra sesión de trabajo desde cualquier otor archivo Cabri sólo necesitaremos decir, con el archivo de trabajo ya abierto, que queremos incorporar la macro a nuestro trabajo. Para ello hay que elegir en Archivo/Abrir: "abrir macro" (*.mac) y la macro estará disponible para ser utilizada en cuanto lo deseemos.

    Cuando la macro está disponible y queramos utilizarla hay que seleccionarla en el grupo de herramientas "macros", seleccionar los objetos iniciales, y , automáticamente, se crearán los objetos finales correspondientes.

    El nombre que hayamos asignado al primer objeto final durante la creación de la macro será visible cuando pasemos la herramienta "puntero" sobre el primer objeto creado por la macro.

Ejercicios con Macros:

    Crear macros para hallar el baricentro de un triángulo, su incentro, la circunferencia circunscrita, inscrita, la de los nueve puntos, para construir triángulos equiláteros a partir de dos puntos (dos vértices del futuro triángulo) (estudiar cómo influye el orden en el que se indiquen los dos puntos al aplicar la macro.

Ejercicio 4: Varios

Observación: Algunos de estos ejercicios están descritos con detalle más adelante. De momento cada uno puede realizar aquellos que no planteen dificultad, ya que para algunos requieren explicaciones adicionales o bien la colaboración de un profesor.

.- Construir un triángulo:
  • Etiquetar los vértices: A, B y C

  • Construir tres rectas a partir de los vértices.

  • Con la herramienta "Grosor" resaltar el triángulo

  • Obtener el incentro y la circunferencia inscrita

  • Ocultar la perpendicular que se ha tenido que dibujar y, también, el punto de tangencia que se ha utilizado.

  • Construir las tres circunferencias exinscritas

  • Definir una macro llamada "cir_insc_exins" (guardarla como archivo en el disquete a:\) que permita dibujar a partir de un triángulo (objeto inicial) sus tres circunferencias exinscritas, su circunferencia inscrita y el centro de la circunferencia inscrita (objetos finales).

  • Comprobar su correcto funcionamiento.

  • Aplicar la macro a un triángulo nuevo, calcular el área del triángulo (herramienta "área"), medir los lados. Utilizar la calculadora para comprobar que el área coincide con el valor obtenido al calcular p*R (p= semiperímetro, R= radio circ inscr). Añadir con la herramienta "comentario" las explicaciones necesarias para justificar el resultado.

.- Realizar una construcción similar a la anterior para obtener el ortocentro de un triángulo y las alturas. Utilizar la calculadora para hallar el área de tres formas distintas (utilizando como base cada uno de los tres lados del triángulo). Justificación de la existencia del ortocentro construyendo un triángulo cuyos lados pasen por los vértices y cuyos lados sean paralelos a los lados del triángulo dado. (Es necesario utilizar alguna propiedad de los paralelogramos; éstas pueden ser motivo para un estudio particular previo con Cabri)
Modifica la construcción del ortocentro para que

  • Dibujar un triángulo y la paralela media del mismo. Comprobar:

  • que mide la mitad que la base (medir y calcular: dividir y ver que el resultado es 2,00)

  • que es paralela a la base (herramienta "comprobar propiedades"-grupo octavo)

  • que los ángulos interiores que forma con los dos lados con los que es incidente coinciden con los ángulos que forma la base con ellos. ("ángulo")

.- Dibujar un triángulo y las dos medianas correspondientes a los vértices de la base ( A y B). Dibujar el punto de corte de ambas medianas (AM y AN) y etiquetarlo como G. Dibujar la paralela media NM del triángulo ABC y, también, la paralela media del triángulo ABG (PQ) . Dibujar el cuadrilátero PQMN y convencerse de que es un paralelogramo. Utilizando la propiedad característica de las diagonales de un paralelogramo, encontrar la relación métrica entre AG y GM y, también, entre BG y GN. Justificar que la tercera mediana también tiene que pasar necesariamente por G.

.- Recta de Euler: En todo triángulo ABC el baricentro, el ortocentro y el circuncentro están alineados y existe una relación métrica interesante. Investigar el asunto.

.- Triángulos de Napoleón: construir triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo cualquiera y hacia fuera. Comprobar que sus baricentros determinan un triángulo equilátero llamado triángulo de Napoleón exterior. Construir el triángulo de Napoleón interior y comprobar que es equilátero. Comprobar que la diferencia de las áreas de los dos triángulos de Napoleón coincide con el área del triángulo. (La construcción de los triángulos y de su baricentro se puede realizar definiendo una macro de forma que a partir de dos puntos (objetos iniciales) construya un triángulo equilátero y su baricentro (objetos finales); al aplicar la macro, del orden en el que se indiquen los puntos, dependerá que el triángulo resultante se construya hacia un lado u otro del segmento determinado por los dos puntos)

.- Triángulo de Morley: Trisecar los ángulos del triángulo ABC y comprobar los puntos de corte correspondientes determinan un triángulo equilátero llamado triángulo de Morley (demostración en Coxeter: Introducción a la Geometría)

.- Dibujar un triángulo rectángulo y construir sobre los catetos y sobre la hipotenusa cuadrados, medir las áreas y, utilizando la calculadora, realizar una comprobación empírica del teorema de Pitágoras. Idem construyendo triángulos equiláteros, hexágonos o cualquier tipo de polígonos construidos sobre los lados con la condición de que sean semejantes. (Utilizar macros para la construcción de los polígonos regulares sobre los lados).

.- Dibujar una circunferencia, una cuerda y comprobar que los ángulos inscritos que abarcan dicha cuerda (es decir: el mismo arco) coinciden. Comprobar la relación con el ángulo central correspondiente y diseñar una tabla que recoja los datos de cinco posiciones distintas.

Algunas Ideas para Experimentar

Las ideas que presentamos a continuación pretenden servir de ayuda a profesores para diseñar actividades de entrenamiento-aprendizaje con Cabri:

.- Arco capaz.
.- Comprobar empíricamente la propiedad de la potencia de un punto exterior respecto de una circunferencia. Realizando la construcción oportuna y viendo que existen dos triángulos semejantes deducir el resultado a partir de la proporcionalidad correspondiente.
.- Teorema de la bisectriz.
.- Circunferencia trigonométrica.
.- Elipse sencilla (macro).
.- Elipse macro a partir de focos y un punto.
.- Ley de Snell: tangentes a una elipse.
.- Semejanza de triángulos, razón de semejanza y de las áreas.
.- Hipérbolas y parábolas. Macros. Tangencias.
.- Haces de rectas, pendientes, paralelismo, perpendicularidad y ecuaciones.
.- Ejercicios de optimización: punto de Fermat y triángulo órtico.
.- Otras propiedades del triángulo órtico.
.- Ejercicios de gráficas de funciones sencillas.
.- Ejercicios de gráficas de funciones asociadas a problemas geométricos.
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