Gérard Desargues (1593
- 1662) utilizó por primera vez de forma sistemática la idea de
"puntos del infinito" (idea original de Kepler) en un
tratado sobre las secciones cónicas. Se le considera uno de los
"padres" de la geometría proyectiva, cuyo verdadero
desarrollo se produjo durante el siglo XIX a partir de la publicación
del primer tratado de geometría proyectiva por parte de Poncelet.
Teorema de Desargues
Si dos triángulos situados en el mismo
plano están relacionados de manera que las rectas que unen vértices
homólogos pasan por un mismo punto (triángulos copolares), los
lados homólogos se cortan en puntos de una misma recta (triángulos
colineales). Recíprocamente triángulos colineales son copolares.
La versión tridimensional del teorema,
cuando los triángulos están incluidos en planos distintos no paralelos,
es sencilla. Las rectas determinadas por A y B, y por A' y B',
pertenecientes al plano determinado por O, A, B, A' y B', se cortan
en un punto que está situado sobre la recta r de intersección
de los planos pi y pi' (se trata del punto de intersección del
plano determinado por los puntos O, A, B, A', B' con la recta
r). Lo mismo sucede con los otros dos pares de rectas. (Si uno
de los lados de los triángulos es paralelo a la recta r, la intersección
de las prolongaciones de los dos lados sería el punto del infinito
de la recta r, y el resultado sigue siendo válido).
El siguiente applet ilustra el teorema
de Desargues. Pueden moverse las tres rectas sobre las que están
situados los vértices (rectas rojas), así como los vértices de
los triángulos sobre las respectivas rectas rojas.
