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El Paraíso de las Matemáticas - Criptotaller ~ Números primos de Mersenne
.: Criptotaller :.
Números primos de Mersenne

Resumen: los números de Mersenne son de la forma Mp= 2p -1, cuando p es primo y Mp también lo es, Mp se denomina primo de Mersenne. Existen pruebas especiales de primalidad y búsqueda de factores que los hacen matemáticamente atractivos.

    Marin Mersenne (1588-1648) fue un fraile franciscano que pasó la mayor parte de su vida en los monasterios parisinos. Fue el autor de "Cognitata Physico-Mathematica" en donde afirma sin probarlo que Mp es primo para p=2, 3, 5, 7, 13 ,17, 19, 31, 67, 127 y 257 y para ningún otro primo hasta 257. Llevó 300 años establecer la veracidad de esto; en 1947 se comprobó que Mersenne había cometido cinco errores (M61 es primo, M67 es compuesto, M89 es primo, M107 es primo y M257 es compuesto). Su correspondencia con Fermat entre otros matemáticos contribuyó al desarrollo de la teoría de números.

    Dos resultados importantes sobre estos números son: la forma especial que tienen sus divisores y un test rápido (Lucas-Lehmer) para averiguar si son primos o no. Puedes encontrar ambos resultados llevados a la práctica en lo programas mersdiv.c y lucasleh.c.

    Ha habido mucha actividad dirigida a encontrar primos de Mersenne ya que constituyen algunos de los primos más grandes conocidos y que por cada uno descubierto tenemos un nuevo número perfecto par (un número n es perfecto par si y solo si n=2^p * Mp siendo Mp un primo de Mersenne; no se sabe aún si existen números perfectos impares se sabe que si existen son mayores que 10200).

    He aquí una tabla con los números de Mersenne conocidos hasta ahora, donde Pp = 2p.Mp es el número perfecto obtenido a partir de Mp

##
p (exponente)
dígitos
de Mp
dígitos
de Pp
año
descubridor
1 2 1 1 ---- ----
2 3 1 2 ---- ----
3 5 2 3 ---- ----
4 7 3 4 ---- ----
5 13 4 8 1456 anónimo
6 17 6 10 1588 Cataldi
7 19 6 12 1588 Cataldi
8 31 10 19 1772 Euler
9 61 19 37 1883 Pervushin
10 89 27 54 1911 Powers
11 107 33 65 1914 Powers
12 127 39 77 1876 Lucas
13 521 157 314 1952 Robinson
14 607 183 366 1952 Robinson
15 1279 386 770 1952 Robinson
16 2203 664 1327 1952 Robinson
17 2281 687 1373 1952 Robinson
18 3217 969 1937 1957 Riesel
19 4253 1281 2561 1961 Hurwitz
20 4423 1332 2663 1961 Hurwitz
21 9689 2917 5834 1963 Gillies
22 9941 2993 5985 1963 Gillies
23 11213 3376 6751 1963 Gillies
24 19937 6002 12003 1971 Tuckerman
25 21701 6533 13066 1978 Noll & Nickel
26 23209 6987 13973 1979 Noll
27 44497 13395 26790 1979 Nelson & Slowinski
28 86243 25962 51924 1982 Slowinski
29 110503 33265 66530 1988 Colquitt & Welsh
30 132049 39751 79502 1983 Slowinski
31 216091 65050 130100 1985 Slowinski
32 756839 227832 455663 1992 Slowinski &Gage
33 859433 258716 517430 1994 Slowinski & Gage
34 1257787 378632 757263 1996 Slowinski & Gage
35 1398269 420921 841842 1996 Armengaud, Woltman,
et. al. (GIMPS)
36 2976221 895932 1791864 1997 Spence, Woltman,
et. al. (GIMPS)
37 3021377 909526 1819050 1998 Clarkson, Woltman, Kurowski
et. al. (GIMPS, PrimeNet)
38 6972593 2098960 4197919 1999 Hajratwala, Woltman, Kurowski
et. al. (GIMPS, PrimeNet)
39 13466917 4053946 8107892 2001 Michael Cameron
(GIMPS, PrimeNet)
40 20996011 6320430 - 2003 Michael Shafer's (GIMPS, PrimeNet)
41 24036583 7235733 - 2004 Josh Findley
(GIMPS, PrimeNet)

Referencias

[1] The Prime pages
[2] www.mersenne.org (GIMPS)
[3] Rosen, Elementary number theory
[4] Página de Landon Curt Noll

Area On-Line
  Todo tipo de material, para disfrutar de él completamente On-Line, sin necesidad de descargar archivos ni tener que andar descomprimiendo estos. No te olvides de pasar por el Diccionario, y las secciones Origami y Geointeractiva. Son de lo más interesante.

Criptotaller

Criptografía (clásica y moderna), criptoanálisis (primos, primos de Mersenne, etc.) y otras técnicas.

Material para descargar

Código Fuente C

Método Hill
Método Jefferson
Exponenciación Modular
Cálculo números primos
Test de Lucas-Lehmer
Factores num. Mersenne
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Enlaces

Página personal de Jaime Suárez Martínez, colaborador de esta sección.

Munitions, colección de programas para Linux.

Kriptopolis, toda una referencia en castellano.

Ciphersaber

Criptonomicón: la página de Gonzalo Alvarez Marañón.

Página de Chris Caldwell, una página bien elaborada sobre números primos.

Colección de links de Peter Gutmann.

www.gnupg.org es la página original de GPG, un programa libre alternativo a PGP.

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