Ésta es una de esas paradojas sobre las que es difícil que la gente se
ponga de acuerdo. Como siempre, daré mi opinión, y más abajo podrás
encontrar enlaces a otros sitios donde encontrar más información.
En el razonamiento que se hace no hay ningún motivo para suponer que,
cuando encuentro una cantidad x en una de las cajas, la probabilidad de
que la otra caja tenga el doble o la mitad es la misma. Sólo porque
no tenga suficiente información sobre la forma en que se han
repartido las cajas no puedo deducir que la probabilidad sea
la misma. Puede ser, por ejemplo, que los que preparan las cajas
no tengan más de un millón de euros, así que si la caja que elijo para
hacer el razonamiento tuviese medio millón, entonces la probabilidad
de que la otra caja tenga el doble de esto no es 1/2 sino 0. El
razonamiento que se hace no tiene por qué ser cierto para
cualquier valor de x.
La respuesta es la del párrafo anterior, y creo que no tiene más
complicación; lo que viene ahora son algunas reflexiones sobre la
paradoja.
Si uno quiere hacer un razonamiento correcto usando la teoría de
probabilidades, debe al menos suponer inicialmente que las cajas se
reparten siguiendo alguna distribución de probabilidad, y a partir de
eso calcular la probabilidad de que una caja tenga 2x si la otra tiene
x. Si uno hace esto, ocurre que no existe ninguna distribución de
probabilidad tal que, sabiendo que una caja tiene una cantidad x, la
probabilidad de que la otra tenga x/2 o 2x sea siempre 1/2. No
existe un proceso para repartir el dinero en las cajas de forma que
pase esto. Puedes encontrar demostraciones de esta afirmación en el
ejemplo de más abajo y en las referencias al final.
Tal vez parte de la confusión de la paradoja está en que, si llevamos
a cabo un concurso como el que se describe, la probabilidad de elegir
la caja que tiene menos dinero es efectivamente 1/2, al igual que la
probabilidad de elegir la que tiene más dinero, al menos si el
concursante elige al azar sin nada que distinga una caja de otra. El
problema con el razonamiento de la paradoja es que, para llevarlo a
cabo, hace falta suponer que una caja tiene una cierta cantidad
concreta x; para la otra caja se aplica entonces la probabilidad
condicionada a que la caja elegida contenga una cantidad x, que
no es la misma para todos los valores de x (sea cual sea la
distribución de probabilidad) y no puede valer 1/2 siempre.
Un ejemplo
José Luis Ferreira da esta misma respuesta basándose en un ejemplo, y
luego muestra que lo mismo debe ocurrir para todas las situaciones
posibles:
La base del fallo es que no se puede definir una
distribución de probabilidad uniforme sobre el conjunto de los
números reales (ni sobre el de los naturales), y esto es lo que
implican los supuestos del problema. Para fijar ideas, supongamos
que se sabe que los premios son de la forma 2 elevado a una potencia
entera no negativa, y que el concursante tiene a priori, las
siguientes creencias sobre los premios:
Las probabilidades de que el premio sea 1, 2, 4, 8, 16, es cada una
un quinto, y la de cualquier otra cantidad, cero. Si abre la caja y
observa el premio 4, el razonamiento del problema será correcto
(asigna iguales probabilidades a un premio de 2 y a uno de 8), le
conviene cambiar y también le habría convenido cambiar si le hubiera
tocado la otra caja (con un 2 o con un 8). Pero el razonamiento no es
válido siempre. Si le toca el 8 le conviene cambiar, pero el
razonamiento no vale, en general, para la otra caja (si la otra caja
tiene el 4, sí, pero si tiene el 16, no). Si le toca el 16 no le
conviene cambiar su caja.
El problema ilustrado con este ejemplo ocurrirá necesariamente con
cualquier otro, como muestra el siguiente argumento.
Pongamos que nos ha tocado una caja con premio x. Para que el
razonamiento del planteamiento sea correcto siempre, debe ocurrir que
la probabilidad a priori de 2x sea más de la mitad que la
probabilidad a priori del premio x/2. De esta manera las
probabilidades a posteriori de los premios 2x y x/2 (condicionadas a
haber recibido la caja con el premio x) son, respecivamente, p > 2/3 y
1-p < 1/3, y así la ganancia esperada de cambiar es mayor o igual que
la de no cambiar. Por la misma razón, si nos ha tocado como premio
4x, debe suceder que la probabilidad de 8x sea por lo menos la mitad
que la de 2x. De esta manera tenemos que las probabilidades a priori
de los premios x/2, 2x, 8x, 32x... deben seguir una secuencia en la
que los valores mínimos son p, p/2, p/4, p/8,... La suma de los
elementos de esta secuencia es infinito cuando, para que pudieran
definir una distribución de probabilidad, debería ser convergente y
así poder elegir un valor de p para que la suma de las probabilidades
fuera 1 (o menos que 1 si todavía tenemos que asignar probabilidades
al resto de los valores posibles, como x, 4x...). Esto quiere decir
que los supuestos del problema son incompatibles.
Me gustaría explicar este mismo ejemplo de forma ligeramente
distinta: lo que estamos suponiendo (en este ejemplo concreto, para
verlo de manera sencilla) es que la forma en que se reparte el dinero
en las cajas es la siguiente:
- Elegimos una de las dos cajas, A o B, con probabilidad 1/2. Le
llamamos "la caja mala".
- Se pone en la caja mala un premio de 1, 2, 4, 8 ó 16, al azar
y con la misma probabilidad (de forma que cada uno tiene
probabilidad 1/5).
- En la otra caja se pone el doble de la cantidad que se ha puesto en
la caja elegida.
Veamos qué ocurre al hacer de nuevo el razonamiento de la paradoja.
Supongamos que el concursante elige la caja A y ésta contiene 1
euro. Entonces con probabilidad 1, la caja B contiene 2 euros.
Si elige la caja A y ésta contiene dos euros, entonces puede haber
ocurrido una de las dos cosas siguientes:
- La caja mala es la A y la otra contiene 4 euros.
- La caja mala es la B y la otra contiene 1 euro.
En el proceso de este ejemplo, estas dos cosas tienen la misma
probabilidad. En este caso, la probabilidad de que la otra caja tenga
el doble o la mitad es efectivamente 1/2, como en el razonamiento de
la paradoja. En este caso le conviene cambiar de caja.
Si elige la caja A y ésta contiene 4 euros, o bien 8 euros, o bien 16
euros, entonces la probabilidad de que la otra caja tenga el doble o
la mitad sigue siendo 1/2, razonando de la misma forma, y de nuevo le
conviene cambiar.
Si elige la caja A y ésta contiene 32 euros, entonces seguro que la
otra caja tiene sólo 16, así que en este caso la probabilidad de que
la otra tenga el doble es 0.
El mismo tipo de argumentos se aplican si elige la caja B. Sin
embargo, puede verse fácilmente que la probabilidad de que el
concursante elija la caja con más dinero (o la que menos) sigue siendo
1/2: elija la que elija, la probabilidad de que ésa sea la caja mala
es 1/2, ya que así se han repartido las cajas en este ejemplo.
Dónde encontrar más información
Este problema es tan famoso que no sé por dónde empezar. Normalmente
se conoce como la paradoja de los dos sobres ("two envelope
paradox" en inglés), y una búsqueda en Internet da miles de
resultados. La Wikipedia tiene un artículo en
inglés muy completo sobre la paradoja que incluye varias
referencias. La lista de Snark
lo incluyó entre su selección
de los mejores problemas aparecidos en la lista. Martin Gardner habló
de él en su libro "Aha! Gotcha" ("¡Ajá! Paradojas" en español). El
número 101 de American Mathematical Monthly de 1994 tiene un artículo
sobre la paradoja, así como el número de Octubre
de 2004 de Mathematics Magazine. En el número de febrero de 2002
de Investigación y Ciencia hay un artículo al respecto de Juan
M. R. Parrondo, y una de las columnas de Keith Devlin en maa.org (la
de Julio-Agosto
de 2004) está dedicada al problema.
En general, la solución aceptada se parece bastante a la que hemos
dado aquí, aunque los detalles varían. Hay varias formas de ver el
problema que implican más o menos sofisticación en el cálculo de
probabilidades y sutilezas filosóficas, pero la esencia es la misma.
Gracias a Alberto Castaño, Aurora Sanz, Juan David Prada, doctor_javi,
Manuel Zayas, Marcelo Domínguez, Jessica Fernández, Celia Martínez, José Luis Ferreira, Raúl Tomé, Mauricio Sepúlveda, Luis Emilio
Espinoza, Francisco Sáenz y Pedro Rupin por las respuestas que
enviaron.
Si tienes comentarios sobre la respuesta puedes enviarlos a José A. Cañizo. No olvides incluir el nombre del juego en el asunto del mensaje.
