La respuesta, como casi todos los que han contestado me indican, es 100. No es difícil ver por qué. Una de las formas posibles es la siguiente, (de la respuesta de Adolfo López):

    La respuesta es 100, o muy próximo a este número. ¿Por qué?

    Creamos una sucesión, digamos que x₀ es el número de cacahuetes que tenía al principio. Después del primer día tendrá x₁ = (x₀ + 100) / 2, al finalizar el siguiente día tendrá x₂ = (x₁ + 100) / 2. Si en vez de escribirlos de esta forma los escribimos en función del número de cacahuetes que tenía el primer día, nos quedaría:

    Pero recordemos que no sabemos cuántos cacahuetes había inicialmente. Esto es cierto sin importar cuál sea el número inicial. Pasado un tiempo (que podría ser muy largo) quedan casi 100 cacahuetes cada día; cada día se añaden 100, el mono se come muy aproximadamente 100, y quedan muy aproximadamente 100. Si uno toma, por probar, una cierta cantidad de cacahuetes inicial, es fácil darse cuenta de que lo que queda para llegar a 100 se reduce cada día a la mitad. Esto nos da la idea de que si pensamos en la diferencia entre 100 y los cacahuetes que quedan cada día, tal vez el razonamiento anterior sea más fácil. Pongamos que d_n es 100 - x_n (donde x_n es el de antes). Entonces, siguiendo la misma idea de arriba,

    Esta vez ha habido muchas respuestas, debido más que nada al tiempo que he tardado en actualizar esto, así que no puedo citarlas todas aquí. Como siempre, gracias a todos los que las habéis enviado.