Carlos Segura envía esta respuesta:

(Llamaremos H-2, H-4, H-6, H-8 a las casillas negras de la parte superior del tablero, empezando a contar por la izquierda; A-1, A-3, A-5, A-7 a las de la parte inferior).

Hacemos esto, cortando siempre por los lados (teniendo en cuenta que el máximo de números por fila es cuatro) y en este caso, que es empezando en H-4, tenemos que las formas distintas de llegar a A-1 son 14, a A-3 son 34, A-5: 35, A-7: 20  (En total, 103 posibles caminos distintos).

Aplicando lo mismo para H-6, tenemos las posibilidades:

A-1: 6;   A-3: 21;   A-5: 34;   A-7: 28;      (Que dan un total de 89)

Partiendo desde H-8, tenemos que:

A-1: 1;   A-3: 6;      A-5: 14;   A-7: 14         (En total, 35)

Partiendo desde H-2, tenemos que:

A-1: 14;  A-3: 28;  A-5: 20;   A-7: 7             (69 en total)  

Como vemos la que más caminos tiene para llegar a ella, desde una posición de arriba, es cuando se va desde H-4 hasta A-5, habiendo 35 caminos posibles.

    Fernando Charro Caballero también envió una respuesta correcta. En cuanto a la pregunta sobre las propiedades del triángulo de Pascal, la verdad es que no se han recibido muchas. Ana Sánchez, de la Universidad Autónoma de Madrid (España), explica el curioso dibujo que se forma al pintar de negro los números impares del triángulo y de blanco los pares. Si habéis visto alguna vez el triángulo de Sierpinski, un conocido conjunto fractal, veréis el parecido. Yo añadiré que lo difícil es mirar este triángulo durante un par de minutos y no encontrarle alguna regularidad oculta. Como muestra, ¿podríais decir qué sucesiones son las que forman las diagonales del triángulo? Las primeras de la izquierda y la derecha no son más que unos. Las segunda forman la sucesión de los números naturales... ¿Y la tercera? ¿Y la cuarta? ¿Podéis encontrar en alguna parte del triángulo la sucesión de Fibonacci (que se forma sumando los dos términos previos para obtener el siguiente: 1,1,2,3,5,8,13...) ?