En realidad, este es un tipo de problema muy conocido,
pero está planteado intentando ocultar los datos necesarios para
resolverlo. Además de resolverlo, hay que separar lo que es relevante
para la solución y lo que no lo es; por ejemplo, en este caso
es importante saber que Amparo se va a la playa de Chiclana y
no a la de Tarifa, porque eso nos permite deducir que...
No, es broma. Eso no era importante. Resumiré ahora las soluciones
que se han enviado y luego daré una explicación más técnica del
problema.
Solución
La primera solución que me llegó fue de Javier López
Peña, un colega de facultad en Granada, que era correcta y usaba
un método general pero que reservaré para la parte técnica. La
siguiente solución es de José Antonio Blázquez:
-
(*) Como Amparo nació un 29 de febrero sabemos
que en el año 2000, el último bisiesto hasta el momento,
cumplió una edad múltiplo de cuatro, es decir, actualmente,
junio de 2001, tiene una edad que es múltiplo de cuatro más
uno.
-
(*) Como desde los 14 años cada tres años
va a Chiclana y este año le toca, su edad menos 14 debe ser
múltiplo de 3.
-
(*) Como desde los 18 años renueva el DNI
de forma puntual cada cinco años, su edad actual menos 18
debe ser múltiplo de cinco.
-
De la primera condición, teniendo en cuenta
además que es mayor de edad, su edad podría ser 21, 25, 29,
33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65 .....
-
Por la segunda condición de las edades anteriores
sólo son posibles 29, 41, 53, 65, 77, 89, 101, 113, 125, 137,...
-
Para finalizar, por la tercera condición sólo
quedarían 53, 113, 173, ...
-
Teniendo en cuenta que todavía viven los padres
de Amparo y que pasar de cien años es actualmente poco frecuente,
la edad buscada es 53 AÑOS.
Con asteriscos (*) he marcado los tres datos que
había que extraer para resolver del problema. Varias de las respuestas
que he recibido usaban sólo dos de ellas, y entonces hay duda
entre dos posibles edades; no tenemos otra forma de decidir que
no sea usar el resto de la información.
Solución técnica
Decía antes que esto es parte de un problema mucho
más general que al fin y al cabo no es más que el de resolver
un sistema de congruencias. Que nadie se preocupe si no sabe lo
que es una congruencia, porque luego lo explicaremos (por encima,
eso sí). Hay un par de métodos comunes para resolver sistemas
así, que se enseñan generalmente en los primeros cursos de las
carreras de matemáticas, y hay un teorema que asegura que en ciertos
casos puede encontrarse una solución: el teorema chino del resto.
El nombre de este teorema se debe a que se averiguó que era conocido
en China desde la antigüedad, aunque se descubrió independientemente
en la cultura occidental. Antes de saber lo que dice, expliquemos
lo que es una congruencia:
Una congruencia es una expresión del tipo a ==
b (mod c) (he puesto == donde deberían ir tres rayitas horizontales,
una encima de otra, porque no es un símbolo estándar), que no
significa más que "a-b es divisible por c", o lo que
es lo mismo, "a y b dan el mismo resto al dividirlos por
c". La expresión anterior se dice que es una congruencia
módulo c. Por ejemplo,
7 == 2 (mod 5), porque tanto 7 como
2 dan resto 2 al dividirlos por 5.
-3 == 1 (mod 4), y en este caso (como no está
uno acostumbrado a sacar restos de divisiones de números negativos)
es más fácil ver que es cierto porque -3-1 = -4, que es divisible
por 4.
Si nos dan un número (pongamos el 8), es muy
fácil saber qué números son congruentes con él para cualquier
otro módulo (por ejemplo 3). En este ejemplo, no hay más que
sumar o restar de tres en tres a partir de 8: son el -4, -1,
2, 5, 8, 11, 14, 17...
Pueden plantearse congruencias con objetos que
no sean números: puede hacerse con polinomios, con enteros complejos,
y en general con cualquier anillo, pero de eso no hablaremos aquí.
Todas las congruencias que aparezcan serán con números enteros,
y casi todas con naturales.
Ya podemos entender el planteamiento Javier López,
que es como sigue:
[1] Nace en un año bisiesto, de modo que
2001 - x == 0 (mod 4), o lo que es lo mismo,
x == 1(mod 4)
(Puesto que todos los años bisiestos son múltiplos de 4)
[2] Se hace el carnet a los 18 y renueva
cada 5 años, de manera que
x == 18 == 3
(mod 5)
[3] A los 17 años estuvo en Chiclana,
donde va cada tres años, y este año le toca de nuevo, de modo
que
x == 17 == 2
(mod 3)
Tenemos entonces las tres congruencias
(a)
x == 1(mod 4)
(b) x == 3 (mod 5)
(c) x == 2 (mod 3)
Esto último que se consigue es un sistema de congruencias.
El problema de Amparo no consiste más que en resolverlo. Éste
en particular usa números muy pequeños, y pocos datos, de forma
que el resultado puede encontrarse por la cuenta de la vieja;
sin embargo, cuando el problema es más complicado hace falta un
método a seguir de forma que podamos estar seguros de llegar al
resultado. Pero, ¡un momento!. ¿Cómo sabemos que hay alguna solución?
Que nadie piense que este tipo de sistemas tienen siempre solución.
Por ejemplo:
x == 3 (mod 15)
x == 4 (mod 10)
...no tiene ninguna solución.
El Teorema Chino del
Resto
Y aquí llega el teorema chino del resto: una forma
de expresarlo es que:
"Cuando los módulos son primos entre sí dos
a dos, el sistema de congruencias tiene una solución. Además,
todas las soluciones son congruentes con ésa módulo el producto
de los módulos de las ecuaciones del sistema".
"Primos entre sí dos a dos" significa
que cualquier par de módulos que tomemos de entre los que aparecen
en el sistema no tiene ningún factor común. En el sistema de Javier
López para el problema de Amparo, los módulos son 4, 5 y 3, que
sí son primos entre sí dos a dos. El sistema de antes, el que
no tenía solución, está buscado con mala idea usando unos módulos
que no son primos entre sí (10 y 15 tienen como factor común a
5).
Además, el T.C.R. nos dice que cuando encontremos
una solución para la edad de Amparo, todas las demás resultan
de ir sumando o restándole a esa de 60 en 60 (4 por 5 por 3 =
60). Pero, ¿cómo encontrar una solución?. Lo haremos sólo
como ejemplo en el problema de Amparo (congruencias (a), (b) y
(c)), y espero que sea suficiente para ver cómo iría la solución
en el caso general. Hay al menos otra forma técnica de encontrar
la solución (usando la identidad de Bezout), pero ésta me ha parecido
un poco más clara:
Los módulos aquí son 4, 5 y 3.
-
Se olvida uno del primero y se multiplican
los otros dos. Eso nos da 15. Se busca un número más pequeño
que sea congruente con el 15 módulo el que hemos quitado antes,
aquí el 4, para hacer las cuentas. Por ejemplo, el 3.
-
Ahora, usando este último 3, se busca un número
n que cumpla que n*3 == 1 (mod 4). Esto puede hacerse por
la condición de que los módulos sean primos entre sí dos a
dos (podéis pensar por qué; no es tan fácil si uno no lo sabe).
Como es una sola congruencia, no suele ser difícil calcularla
a mano. En este caso, 3*3 = 9 == 1 (mod 4), así que obtenemos
n=3.
-
Y por último se coge el número al que tenía
que ser congruente x en la primera congruencia (aquí, el 1),
y se multiplica por éste: 3*1 = 3. Nos acordamos del 3.
-
Ahora hay que repetir lo mismo para la segunda
congruencia, y lo haremos un poco más rápido: quitamos el
5, y multiplicamos el 4 y el 3. Da 4*3=12. Tomamos 2, que
es congruente con 12 (mod 5) y es más sencillo. Encontramos
que 2*3 == 1 (mod 5), de forma que nos quedamos con el 3 y
lo multiplicamos por 3, que es el número que aparece en la
segunda congruencia. Eso da 9, y lo recordamos.
-
El mismo proceso en la tercera congruencia
nos da 4.
Finalmente, la solución se consigue multiplicando
los números que hemos conseguido antes por los productos que conseguíamos
quitando uno de los módulos (en el mismo orden) y sumándolos.
Aquí, esos productos eran 15, 12 y 20:
3*15 + 9*12 + 4*20 =
233
Muy bien. Una solución es 223. Podemos pensar
que seguramente Amparo no tendrá tantos años, así que empezamos
a restar de 60 en 60 hasta obtener algo razonable: 53, por ejemplo.
La siguiente solución es 113, claramente demasiado vieja, y la
anterior es -7, que es bastante improbable. Por lo tanto concluimos
que Amparo debía de tener 53 años.
