Otras aplicaciones
Aunque podemos explicar la prueba del nueve sin usarlas, las
congruencias dan una forma muy natural de entenderla. Además, el
trabajo de conocerlas merece la pena porque contienen un principio
fundamental que aparece en multitud de problemas relacionados con
números enteros, y que puede generalizarse a gran número de
situaciones más abstractas que se dan en casi todos los campos de las
matemáticas.
Como muestra, las congruencias nos permiten entender de dónde han
salido todas esas formas de comprobar si un número es divisible por
tres, por cuatro, por cinco... Normalmente se enseña que para
comprobar si un número es divisible por tres, se suman sus cifras y
se
mira si el resultado es divisible por tres. ¿Por qué funciona esta
prueba? Seguramente estáis ya adelantando el mismo razonamiento de
antes (cuando pusimos cba=a + b·10 + c·100), esta vez para el tres:
10, 100, 1.000... son todos congruentes con 1 módulo 3, así que para
calcular números que dan el mismo resto que otro módulo tres basta
sumar las cifras como antes (la prueba del nueve podría ser la"prueba
del tres" si contásemos en base cuatro). Si un número es divisible
por
tres, la suma de sus cifras lo será, y al revés.
¿Y la prueba de la división por 4? Ocurre que un número es divisible
por cuatro si sus dos últimas cifras lo son. ¿Por qué? 10 es 2 módulo
4, pero 100, 1.000, 10.000... ¡son todos 0 módulo 4!. Así que al hacer
la suma como antes sólo quedan las dos últimas cifras...
¿Hay alguna forma fácil para ver si un número es divisible por siete? Veamos qué pasa con la misma idea...
10 es 3 módulo 7
100 es 2 módulo 7
1.000 es 6 módulo 7
10.000 es 4 módulo 7
100.000 es 5 módulo 7
1.000.000 es 1 módulo 7
10.000.000 es 3 módulo 7
y a partir de aquí se repiten. Con el método anterior no parece fácil
conseguir una prueba para la división por siete... ¿conoces alguna?.
En una página de Internet dedicada a trucos propios de varias
profesiones (http://www.tradetricks.org) leo una técnica que puede
resultar útil a los contables: supongamos que tenemos dos columnas
de números
que
sumar y esperamos que el resultado sea el mismo (tal vez al cuadrar
las cuentas del día). Si obtenemos dos resultados diferentes, podemos
comprobar si su diferencia es múltiplo de nueve; si lo es, eso
sugiere
que es probable que hayamos intercambiado las cifras de algún número
en una de las columnas, por ejemplo al introducirlo en una
calculadora, un error muy común. El motivo es sencillo si uno tiene
en
cuenta la explicación anterior.
Por último, propiedades curiosas de los números frecuentemente
encuentran un lugar en algún truco de magia. Uno de los siguientes
juegos de esta sección trata sobre esto.
Miguel Rodríguez observa que en el número de Julio de 2004 de
Investigación y Ciencia se publicó un artículo escrito por Michel
Ballieu sobre la prueba del nueve. En él podéis leer una explicación
de la misma y un resumen de su historia. Manuel Bernal dice que esta
prueba se menciona en "A short account of the history of
mathematics",
de W.W.R. Ball, página 160, donde se dice que un tal Alhossein,
matemático Árabe del siglo XI, ya usaba el mismo principio para
comprobar sumas y productos (aunque la prueba es más antigua: en el
artículo de Michel Ballieu se reproduce un fragmento de un texto de
al-Khwarizmi del siglo IX donde se explica cómo realizarla).
