Muchísima gente ha
contestado esencialmente que el fallo es que el número
1 tiene dos raíces: 1 y -1. Es corriente en matemáticas
usar el símbolo de raíz para denotar, de entre las
dos raíces de un número, la que es positiva. Está
también extendido el escribir, por ejemplo, "raíz
de 4 igual a más/menos dos" para indicar que hay dos
números que al cuadrado dan 4: el 2 y el -2. Si tu contestación
estaba relacionada con esto, por favor vuelve a buscar el error
sabiendo que cuando escribo el símbolo de raíz con
un número positivo debajo me estoy refiriendo a la raíz
positiva de ese número. El fallo no está en la primera
igualdad. El fallo está en la tercera igualdad, que es
simplemente falsa. El engaño está en que parece
que se usa la propiedad distributiva de las raíces, que
no es cierta en general a menos que se trate de números
positivos. Como dice Jorge Antonio en su mensaje,
"Hace poco, mi
profesor de variable compleja hizo un truco para engañarnos
de manera parecida, la cuestión es que la factorización
que nosotros estamos acostumbrados a hacer en números reales
en las raíces sólo funciona cuando se trata de números
positivos, (estoy hablando de la tercera igualdad). Este principio
de que la raíz de un producto es el producto de las raíces
de los factores, en efecto sólo funciona cuando los factores
son mayores que cero"
Sin embargo, no es cierto
que esta propiedad sólo funcione con números positivos.
Antes de decir exactamente cómo puede usarse, quiero aclarar
que se puede definir la raíz también para los números
complejos (incluyendo a los números negativos). Se sigue
teniendo que elegir entre dos posibles, como en el caso real:
para cualquier número complejo existen otros dos números
complejos distintos que elevados al cuadrado dan el número
original, salvo en el caso del cero (para el que sólo hay
uno: el cero). La elección más común es tomar
la positiva para números positivos; para números
negativos, la que tiene parte imaginaria positiva (por ejemplo,
);
y para cualquier otro número imaginario, la que tiene parte
imaginaria del mismo signo. A la función raíz que
resulta se la llama la rama principal de la raíz.
Con el acuerdo de que al escribir 
nos referimos a la rama principal de la raíz de x, es cierto
que 
siempre que el argumento principal de x y el argumento principal
de y sumen un número entre -
y ,
sin incluir -
(el argumento principal de un número complejo es el ángulo
que forma con el eje real, en radianes y tomado siempre desde
el número hacia la parte positiva del eje, y que es
para los números negativos).Como ocurría en la demostración
falsa, no es cierto que 
,
porque la suma de los argumentos de estos dos números es
+=2,
que no está entre -
y .
Sin embargo sí es verdad que 
,
y que 
.
Puedes comprobarlo si sabes cuáles la raíz de i
(la rama principal, claro).
