En la línea 199 del triángulo de Tartaglia hay 16 números impares y
183 pares.
Carlos Merino me envió la primera respuesta correcta. También enviaron
respuestas Santiago Segarra, Josep Marc, Robert Vilageliu, Miquel Capó
Dolz, Francisco Contador Rojas y Sebastián Romero.
¿Cómo se puede llegar a esa respuesta? Por ejemplo, podemos empezar a
ver cómo están distribuidos los números pares e impares en el triángulo. Si ponemos un uno en lugar de cada número impar y un cero
en lugar de cada par es fácil ver la pauta que siguen (para eso no
necesitamos calcular los números del triángulo, sino que basta con
hacer las cuentas módulo 2). Un poco después de empezar a dibujarlo
vemos que la figura que forman es muy curiosa:
En este dibujo, de Miquel Capó, el triángulo está dibujado hasta la
línea 300 y aparece girado a la izquierda; se han representado los
impares con un punto negro y los pares con un punto blanco. La figura
que resulta se parece mucho al triángulo
de Sierpinski, y si dibujamos partes mayores del triángulo de
Tartaglia con la forma anterior de colorear los números obtenemos cada
vez aproximaciones mejores a este triángulo. Observando el dibujo (que
imaginaré con el pico hacia arriba) podemos ver por qué ocurre esto:
cada vez que encontramos una línea formada sólo por impares se repite
bajo ella el dibujo que hay por encima, pero dos veces (una a cada
lado). Una forma de ver esto es observar que, ya que cada número se
calcula a partir de los dos que hay justo encima, bajo una línea de
números impares (puntos negros) siempre hay un triángulo invertido de
números pares (puntos blancos). Bordeando esa línea es fácil ver que
debe haber una línea de unos, y entonces a cada lado tiene que
repetirse el diseño que hay encima porque el proceso para dibujarlo es el mismo. Teniendo esto en cuenta no es difícil ver que
las líneas 4, 8, 16... las que están en lugar potencia de 2, están
formadas sólo por números impares, y bajo ellas se repite, doblado, el
dibujo que hay encima.
Esto nos ayuda a saber el número de impares en una línea dada, ya que
ahora sabemos que
nº de impares en la línea (2n + k) = 2 veces el
número de impares en la línea k, (siempre que k sea más
pequeño o igual que 2n.
Así que:
como 199 = 128 + 71,
nº impares en la línea 199 = 2 x nº de impares en la 71.
como 71 = 64 + 7,
nº impares en la línea 71 = 2 x nº de impares en la 7.
A la línea 7 es muy fácil llegar a mano: allí hay 4 impares, así que
en la línea 199 hay 2 x 2 x 4 = 16 impares.
Josep Marc observa que el número de impares en cualquier línea
del triángulo es dos elevado a la cantidad de unos en la expansión
binaria del número de la línea anterior. Así, como 198 es
11000110 en binario, que tiene cuatro unos, en la línea 199 hay 16
impares. Observad que una de las formas de calcular la expresión
binaria de un número es exactamente lo que hemos hecho
arriba: se toma la potencia de dos más cercana al número por
debajo; se pone un uno en esa posición y se hace lo mismo con la parte
sobrante del número, hasta que ya no se pueda seguir.
Desde luego, hay muchas formas de llegar al mismo resultado. Carlos
Merino, por ejemplo, escribe el número de impares en cada línea así:
Líneas 3 y 4: 2, 4 (línea 4, 4 impares)
Líneas 5 a 8: 2, 4, 4, 8 (línea 8, 8 impares)
Líneas 9 a 16: 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16 (línea 16, 16 impares)
Líneas 17 a 32: 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32
(línea 32, 32 impares)
Líneas 33 a 64: 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16,
32, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 8, 16, 16, 32, 16, 32, 32, 64 (línea
64, 64 impares)
...
De esta forma se ve la pauta que siguen: cada una de las listas
anteriores se consigue repitiendo la previa y luego añadiendo la misma
multiplicada por dos (esto es esencialmente el mismo razonamiento de
arriba escrito de otra forma). Siguiendo esta idea se puede deducir
cuál será el número de impares en una línea dada.
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