La primera vez que la gente ve los trabajos de papiroflexia se queda atónita. Esperan el típico barquito, pero en lugar de eso se encuentran con una figura tan elaborada que no parece posible que pueda construirse. ¿Una mariposa con cuatro alas, seis patas, dos antenas, una cabeza y una cola... hecha sin cortar ni pegar ? Dudoso. ¿ Un caballero negro en un caballo blanco conseguido con solo una hoja de papel ? Poco probable. ¿ Una serpiente de cascabel de 90 centímetros de longitud a partir de una hoja cuadrada de 25 centímetros ? ¡Imposible ! Para hacer objetos (los aficionados les llaman modelos) tan complejos como estos se recurre a una tradición con siglos de antigüedad en la historia de la papiroflexia, añadiendo capa por capa de complejidad a las sencillas formas creadas por los antiguos maestros japoneses. Los japoneses inventaron la papiroflexia hace más de mil años. Le dieron el nombre de Origami y la dotaron de principios estéticos surgidos del corazón de su cultura.

    Unos cuantos pliegues sencillos evocan un animal ; si se modifica ligeramente la secuencia, aparece una bestia completamente distinta. Para la sensibilidad japonesa, el éxito de una figura Origami depende del ojo de su creador para la forma, la estructura y la proporción. ¿Llega a  capturar la forma verdadera de la criatura ? ¿Sugiere la forma de moverse del animal, su zancada, deslizamiento o galope ? Y por ultimo, ¿es una mera reproducción del original o ahonda más profundamente en su carácter esencial ? Para el matemático, la belleza del origami es su simple geometría. Latentes en cada trozo de papel hay patrones geométricos , combinaciones de ángulos y radios que permiten a la hoja asumir interesantes formas. El matemático se pregunta : ¿ consigue el diseño final mayor utilización de la geometría existente ? ¿Es elegante el procedimiento de doblado, con líneas duras, dobleces compactos, proporciones sencillas y regulares ? ¿ No hay papel desperdiciado, grosores desagradables o dobleces arbitrarios ? ¿Se sirve a la utilidad en cada paso ?

    Un verdadero trabajo de Origami ejemplifica tanto los patrones de belleza del artista como los del matemático. Se realiza a partir de un cuadrado de papel sin cortes. Es anatómicamente exacto - un requerimiento americano, no japonés - aunque sugiere más de lo que muestra. Emplea técnicas de doblado que son a menudo inesperadas pero nunca arbitrarias, y cuya lógica puede ser comprendida por un espectador solo cuando se haya completado la figura.

     Los modelos tradicionales de derivan de cuatro bases fundamentales. Base en un termino que los aficionados japoneses utilizan para denominar las formas geométricas que dan lugar a un variedad de modelos.

    Los japoneses desarrollaron cuatro, conocidas como la base de la cometa, la del pez, la del pájaro y la de la rana. Cada base ofrece una configuración diferente de pliegues que pueden utilizarse para representar partes de un animal : cabeza, cuellos, brazos, piernas, alas, cuernos, antenas, cola. La base de cometa tiene un pliegue, la del pez dos, la del pájaro cuatro, y la de la rana cinco.

    Pero las ¿ es posible que estas cuatro sencillas bases acaben con el potencial del cuadrado? ¿Es todo lo que el Origami puede ofrecer? El mundo a nuestro alrededor es geométrico. Las resquebrajaduras en la porcelana casi siempre se cruzan en ángulos de 90 grados. Los pétalos de un girasol y los cuernos de una cabra montesa crecen en espirales logarítmicas. Si examinamos la naturaleza, podremos ver en ella complejos patrones de diseño, mapas que llevan hacia fuerzas en conflicto. Cada configuración esta compuesta de unos pocos elementos sencillos. Aparecen en distintos ordenes de magnitud, recombinados, revueltos, .. pero siempre idénticos. Enteros, o a tamaños medio, de un cuarto, de una octava parte, también dobles, cuádruples.. Ya que la apariencia es independiente de la escala, esta propiedad de los diseños es conocida como autosimiliridad.

    Lo curioso es que tantos procesos y objetos posean esta propiedad . Los ríos se ramifican en riachuelos, los riachuelos en arroyos, y los arroyos en corrientes cada vez más y más pequeñas. En los pulmones, los vasos sanguíneos pasan por unas 15 bifurcaciones similares a si mismos antes de alcanzar el tamaños de los capilares donde termina la autosimilaridad. Un proceso iterativo es un eficiente mecanismo para generar estructuras elaboradas con un mínimo gasto de energía e información. Se lleva a cabo una operación y esta produce un resultado, que llamamos x. Este resultado vuelve a introducirse en el proceso para producir otro resultado x, y así sucesivamente. Cada paso es una iteración ; el proceso entero se suele denominar bucle de realimentación. Durante los últimos 40 años, los proceso iterativos han pasado por el escrutinio de cristalografos, biólogos, genetistas e investigadores en inteligencia artificial.

    La mejor manera de entender un modelo Origami es dibujar lo que se suele llamar un patrón doblado. Para derivar el patrón de doblado de una modelo hay que desdoblar el papel, dejarlo liso, y dibujar sus dobleces más importantes ; no los detalles, sino los que contienen su geometría esencial. El patrón de doblado es, por necesidad, una abstracción, la reducción de una forma complicada a su estructura interna.

    Dibujando los patrones de doblado de las cuatro bases fundamentales descubrimos una notable progresión. La más simple, la base de la cometa, esta constituida por seis triángulos, dos de un tipo y cuatro de otro. Un triángulo pequeño y dos grandes forman un modelo repetitivo. Al desdoblar el modelo, reconocemos los mismos elementos simples una y otra vez. Dos módulos forman una base de cometa ; cuatro una de pez ; ocho, una de pájaro ; ¡ dieciséis una de rana ! Repetir el modulo en escalas más y más pequeñas lleva inexorablemente de la base de la cometa a la de pez, de la de pez a la de pájaro, de la de pájaro a la de rana. Hasta ahí es hasta donde llegan los japoneses. Pero no hay ninguna razón para detenerse en este punto.

    La operación para reproducir bases se convierte en un bucle de realimentación.

    En resumen, dependiendo de las preferencias de cada doblador, el ORIGAMI puede considerarse como arte, o como ciencia, Los pliegues no son más que transformaciones geométricas ( simetrías, giros, translaciones), a veces bastantes complejas, y pueden ser estudiadas en términos geométricos, topológicos....Puede mencionarse los dobladores que usan la papiroflexia para demostrar teoremas geométricos, incluso hay algún que otro libro sobre resolución de ecuaciones de tercer grado, o sobre topología algebraica basados ni más ni menos que en el ORIGAMI.