Por José A. Cañizo
Ya he metido la pata. El
problema que se propuso hace poco con este título, que consistía
en...
"Dada una figura cualquiera de diámetro
menor o igual que uno, ¿podemos encontrar un disco de diámetro
uno que lo contiene? "
...tiene una respuesta
trivial, y yo dije sin pensarlo demasiado que se podía contestar
que sí, y que la demostración tenía que ser interesante. Podéis
ver el enunciado antiguo aquí.
La respuesta, como me avisaba José Antonio Blázquez, es que no
tiene por qué poderse hacer eso, como lo prueba un triángulo equilátero
de lado uno (que tiene diámetro uno), que sólo puede encerrarse
en una circunferencia de radio por lo menos 1/raíz(3). Incluso
recibí un intento de demostración de Pascual Garrote, que era
aparentemente correcta, pero contenía un error fastidioso.
Luego
pensé en preguntar otra cosa parecida: ya que no siempre puede
conseguirse con una circunferencia de diámetro 1, ¿cuál es el
radio mínimo para el que, dado un conjunto cualquiera de diámetro
1, puede encontrarse un disco de ese radio que lo contenga?. El
ejemplo del triángulo sugiere que ese radio puede ser 1/Sqrt(3),
como de hecho ocurre. El problema es que ésta es una pregunta
conocida: José H. Nieto me explicó que es el caso particular en
el plano del teorema de Jung, que dice que un conjunto de diámetro
uno en Rn puede meterse dentro de un disco de diámetro
raíz(2n/(n+1)). Parece que la demostración no es algo para proponerse
como problema para pasar el tiempo, sino que tiene una dificultad
mayor. De todas formas, si alguien conoce una prueba del teorema
(aunque sea en el caso del plano) que pueda explicarse de forma
elemental, que me la envíe y la publicaremos aquí.
Siento el error, pero cualquier
manera, ha resultado que tenía algo que ver con un teorema curioso,
¿no?. Espero que a pesar de todo haya resultado interesante...
Para responder, envía un correo electrónico a José A. Cañizo. Recuerda, intenta dar explicaciones completas (no contestes sólo "sí" o "no"). Buscamos diferentes puntos de vista y explicaciones curiosas. Puedes encontrar algunas sugerencias sobre cómo contestar en la página de instrucciones de esta sección.
