Por José A. Cañizo

    Éste es un problema bastante más técnico que los otros que aparecen en esta página, y no encaja demasiado bien en la sección de juegos. Sin embargo, me parece algo que al menos es curioso, y me encantaría saber si alguien conoce la respuesta. La pregunta es, directamente:

    ¿Existe alguna función real de variable real f que cumpla que f compuesta consigo misma es igual a la exponencial?. (Escrito de otra forma, que cumpla que f(f(x)) = ex , para todo x real). Si existe, ¿Cuál es? ¿Hay más de una?.

    Por supuesto, la pregunta más general es cómo encontrar un método, si existe, para decidir cuándo una función cualquiera puede escribirse como f(f(x)), pero este caso es sorprendente porque... bueno, doy una pista: existen funciones como la que se pide, y las que yo conozco son tales que uno no las imaginaría nunca al primer, ni al segundo, vistazo. También es probable que ocurra, claro, que esto sea parte de alguna teoría matemática ya conocida y resuelta, y en ese caso agradecería cualquier comentario que pudiera ayudar a buscar la solución.

    Como última observación, para la solución se prefieren funciones lo mejores posible: si pueden ser continuas, continuas. Si derivables, mejor todavía. Si son funciones expresadas a partir de las elementales, muchísimo mejor.

    Y ya está. Me encantará leer cualquier opinión, tanto si es para darme la noticia de que ya se resolvió hace trescientos años como si es para decir que es un problema fantástico.