Por fin
publicamos una solución a este problema. En todo el tiempo que
lleva propuesto, sólo he recibido tres respuestas, de las cuales
sólo una, de Xavi Xarles, es completa. Una sugerencia interesante
consistía en considerar la serie de Taylor de f, e intentar algo
a partir de ahí. Sin embargo, no puedo ver para qué puede servir
eso. La solución de Xavi, que sorprendentemente coincide punto
por punto con la que había encontrado yo, salvo diferencias irrelevantes,
es tan extraña que merece un poco de suspense.
Recordemos que el problema
consistía en encontrar f función real, de variable real, de forma
que f compuesta consigo misma fuese igual a la exponencial. Parece
algo no demasiado difícil: se puede pensar fácilmente en otras
funciones distintas de la exponencial para las que se puede encontrar
algo así: algún polinomio, funciones lineales... en todos esos
casos, no sorprende mucho la forma de las soluciones. Y como la
exponencial, una función muy conocida, es derivable todo lo que
uno quiera, parece que también que la solución más fácil debería
ser algo derivable. Eso es posible, pero la función que hemos
encontrado tiene, ni más ni menos, el aspecto de abajo.
De verdad; la función que
aparece entre la recta y la exponencial, una vez compuesta con
ella misma, da la exponencial. Palabra.
La función
de encima es la exponencial, la recta inferior es la y=x y la
función de en medio es la que buscamos. Digo "la", cuando en realidad
hay muchas: la forma de construirlas es la siguiente (por Xavi
Xarles, salvo una ligera modificación mía):
Llamamos I_0 = (-¥,
-1], y llamamos x(0) = -¥, x(1)=-1.
Sea x(k):=exp(x(k-2)) definido
recurrentemente para k>1. Sea I_k el intervalo ]x(k),x(k+1)].
Vamos a definir la función f en cada uno de los intervalos de
la siguiente forma:
-
f en I_0 es una función biyectiva cualquiera
entre I_0 y I_1; por ejemplo, f(x) := exp(x+1) -1
-
Definimos recurrentemente f en I_k como la función:
f(x) = exp(f-1(x)) para x cualquier punto de I_k
Como f^(-1) va de I_k a
I_(k-1) tenemos que f está bien definida.
Por construcción f(f(x))=
exp(f-1(f(x)))=exp(x)....¡ya está!.
Además, la función f es continua, como puede verse más o menos
fácilmente. ¿Por qué resulta tan rara esta f? Bueno, la verdad
es que no lo sé; lo que sí sé es que variando la biyección f entre
I_0 e I_1, y variando el punto -1 que hemos tomado al principio
(sirve cualquiera entre -¥ y 0) se
obtienen funciones de apariencia más suave, como la que se ve
a continuación:
Lo que todavía queda en el aire es saber
si puede encontrarse una función derivable que cumpla esto, que
sería lo natural, ¿no?. ¿Alguien lo sabe?
