Por fin publicamos una solución a este problema. En todo el tiempo que lleva propuesto, sólo he recibido tres respuestas, de las cuales sólo una, de Xavi Xarles, es completa. Una sugerencia interesante consistía en considerar la serie de Taylor de f, e intentar algo a partir de ahí. Sin embargo, no puedo ver para qué puede servir eso. La solución de Xavi, que sorprendentemente coincide punto por punto con la que había encontrado yo, salvo diferencias irrelevantes, es tan extraña que merece un poco de suspense.

    Recordemos que el problema consistía en encontrar f función real, de variable real, de forma que f compuesta consigo misma fuese igual a la exponencial. Parece algo no demasiado difícil: se puede pensar fácilmente en otras funciones distintas de la exponencial para las que se puede encontrar algo así: algún polinomio, funciones lineales... en todos esos casos, no sorprende mucho la forma de las soluciones. Y como la exponencial, una función muy conocida, es derivable todo lo que uno quiera, parece que también que la solución más fácil debería ser algo derivable. Eso es posible, pero la función que hemos encontrado tiene, ni más ni menos, el aspecto de abajo.

    De verdad; la función que aparece entre la recta y la exponencial, una vez compuesta con ella misma, da la exponencial. Palabra.

    La función de encima es la exponencial, la recta inferior es la y=x y la función de en medio es la que buscamos. Digo "la", cuando en realidad hay muchas: la forma de construirlas es la siguiente (por Xavi Xarles, salvo una ligera modificación mía):

    Llamamos I_0 = (-¥, -1], y llamamos x(0) = -¥, x(1)=-1.

    Sea x(k):=exp(x(k-2)) definido recurrentemente para k>1. Sea I_k el intervalo ]x(k),x(k+1)]. Vamos a definir la función f en cada uno de los intervalos de la siguiente forma:

• f en I_0 es una función biyectiva cualquiera entre I_0 y I_1; por ejemplo, f(x) := exp(x+1) -1 

• Definimos recurrentemente f en I_k como la función: f(x) = exp(f^-1(x)) para x cualquier punto de I_k 

    Como f^(-1) va de I_k a I_(k-1) tenemos que f está bien definida. 

    Por construcción f(f(x))= exp(f^-1(f(x)))=exp(x)....¡ya está!.

     Además, la función f es continua, como puede verse más o menos fácilmente. ¿Por qué resulta tan rara esta f? Bueno, la verdad es que no lo sé; lo que sí sé es que variando la biyección f entre I_0 e I_1, y variando el punto -1 que hemos tomado al principio (sirve cualquiera entre -¥ y 0) se obtienen funciones de apariencia más suave, como la que se ve a continuación:

    Lo que todavía queda en el aire es saber si puede encontrarse una función derivable que cumpla esto, que sería lo natural, ¿no?. ¿Alguien lo sabe?