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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ Todas las actrices van al mismo dentista. Enunciado
.: Juegos :.
Desmayos de la razón (I). Enunciado
Todas las actrices van al mismo dentista

Qué locura es el quererte aún,
qué desmayos tiene la razón...

El Último de la Fila,
{Remando sobre el Polvo}

Por José A. Cañizo

Introducción ~ Desmayos de la razón

    Las asas de las tazas se ponen a la derecha para que a los diestros les sea más fácil sujetarlas. Es una suerte que la nariz esté ahí para poder sostener bien las gafas, y me han dicho que el próximo fin de año caerá en Martes trece. Todas éstas son tonterías sin mucho sentido, argumentos falsos un poco más cortos que los que vienen a continuación. Una buena parte de cada uno de nuestros días depende del razonamiento: necesitamos decidir cuál es la mejor opción entre dos posibles, necesitamos el razonamiento de otros antes que nosotros para poder hacernos una radiografía, necesitamos saber si nos están cobrando de más en el banco, nos hace falta decidir si la persona a la que están juzgando es culpable o no... necesitamos acercarnos a esa cosa tan extraña que es la verdad, porque de lo contrario no tendremos muchas oportunidades de conseguir lo que queramos. Tal vez por eso un razonamiento falso donde el error está encubierto inquieta un poco, porque aunque sea una mentira de juguete no deja de estar jugando con la frágil habilidad de la que dependemos. Después de todo, en los periódicos hay mentiras que desearíamos poder identificar siempre, estadísticas engañosas con las que nos quieren hacer creer lo que sea, argumentos absurdos que deciden la vida de la gente. Pero todas éstas son mentiras que ganan juicios; los que vienen ahora no son más que pequeños desmayos de la razón.

Todas las actrices van al mismo dentista

    Podemos demostrar fácilmente, usando la inducción finita, que todas las actrices de Hollywood van al mismo dentista. Una cosa con un nombre tan magnífico como "inducción finita" no es más que una forma de demostración útil cuando se quiere decir algo de un grupo (finito) de cosas, como por ejemplo el conjunto de los granos de arena de una playa o los números del uno al veintisiete. Consiste en poner esas cosas en fila y demostrar que la propiedad que nos interesa se cumple para la primera de ellas. Después, demostramos que si se cumple para alguna, la que sea, entonces también se cumple para la siguiente. Es de sentido común que entonces todas ellas deben cumplir la propiedad (si no, ¿cuál sería la primera que no la cumple?). Vamos a demostrar por inducción finita, para todo los número n desde el uno hasta el número total de actrices de Hollywood, la siguiente afirmación: "para cualquier conjunto de n actrices de Hollywood, las actrices que lo forman van todas al mismo dentista".

    Es fácil demostrarlo para n=1, porque en este caso lo único que dice la afirmación es que cualquier actriz de Hollywood va al mismo dentista que ella misma y eso siempre es verdad.

    Supongamos que se cumple para el número n: en cualquier conjunto de n actrices de Hollywood que podamos encontrar, todas van al mismo dentista. Ahora pensamos en un conjunto cualquiera de n+1 actrices, y las ponemos en fila. Elegimos a dos cualesquiera de ellas: las llamaré Helen y Liv. Quitamos a Helen del grupo de las demás, y nos quedan n actrices. Por lo que estamos suponiendo, podemos decir que todas ellas van al mismo dentista. Como Liv está en este grupo de n actrices, Liv va al mismo dentista que el resto de ellas. De Helen todavía no sabemos nada. Pero ahora ponemos a Helen en el grupo y quitamos a Liv, y tenemos otras n actrices de Hollywood, que por ser n deben ir al mismo dentista, así que Helen también va al mismo dentista que todas las demás, que es el mismo que el de Liv, así que todas ellas van al mismo dentista. Por lo tanto, hemos demostrado nuestra propiedad para n+1, y hemos terminado la inducción finita. Conclusión: todas las actrices de Hollywood van al mismo dentista.

    Eso explica muchas cosas. ¿Cuál es el fallo?.

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