El fallo está en
la parte en la que se deduce que la afirmación es cierta
para n+1 actrices suponiéndolo cierto para n. El razonamiento
que se hace no es válido para el caso en el que n=2, es
decir, para sólo dos actrices, porque en ese caso no hay
nadie más aparte de Helen y de Liv y no podemos hablar
de "el resto de ellas". No tenemos entonces ningún
grupo de actrices sobrantes con el que continuar el razonamiento.
Como dice Nicolas Cianci en la primera respuesta correcta recibida,
"El razonamiento n->n+1
es cierto para cualquier n>1... de hecho es fácil ver
que si dos actrices cualesquiera van al mismo dentista, entonces
todas van al mismo dentista. Pero cuando quitamos del grupo de
n+1 a una actriz el conjunto debe contener al menos 2 actrices
que vayan al mismo dentista para que el razonamiento sea valido;
esto es: 2->3, 3->4, 4->5 …, etc. Pero es falso
que 1->2 y ahí es donde falla el razonamiento."
En una demostración
por inducción el razonamiento que se usa para pasar de
n a n+1 debe ser válido siempre que no hayamos demostrado
anteriormente la afirmación de la que se trata para n+1.
Para que la prueba fuera válida en este caso necesitaríamos
demostrar la afirmación para n=2, cosa que desde luego
no puede hacerse, ¡imaginad!. Que todas las actrices van
al mismo dentista, qué barbaridad.
Dos o tres personas contestan
que el fallo tiene algo que ver con que el conjunto de actrices
no está ordenado, o con que en la demostración lo
desordenamos. ¡Esto no tiene nada que ver!. No está
dentro de la cuestión si las actrices están ordenadas
o no. En general la inducción se aplica para probar propiedades
que dependen de un cierto número natural n y el orden no
suele tener un papel importante en este tipo de pruebas porque
se sobreentiende que los naturales están ordenados como
siempre. En el enunciado de la pregunta podéis ver que
lo que se quería demostrar se refiere a los números
naturales y no directamente a las actrices.
Me dicen que este problema
fue propuesto (¿originalmente?) por George Polya. De la
respuesta de Juan Martínez Tarrazó:
"Es el mismo problema
de "todas las niñas son rubias" que propuso George
Polya. Hay aún un problema más curioso, que ahora
no recuerdo, donde se preguntaba algo parecido sobre paralelismo
o perpendicularidad de n rectas en el plano o espacio llegando
a la paradoja de que todas son paralelas o perpendiculares o algo
así, donde lo que fallaba era el paso de n=2 a n=3. Siendo
la base, n=1, y el paso de n=1 a n=2 verdaderos."
La misma persona nos dice
que el problema de las niñas rubias (el mismo que éste)
está en el libro de George Pólya Matemáticas
y Razonamiento Plausible, así como en la página
31 del libro Matemática Discreta (2ª ed.)
de J. C. Ferrando y V. Gregori, publicado por Reverté.
