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Fontenelle  
 
Los matemáticos son como los amantes... conceded a un matemático el mínimo principio, que él sacará de allí una consecuencia que tendréis que concederle también, y de esa consecuencia otra.
 
El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ Todas las actrices van al mismo dentista. Solución
.: Juegos :.
Desmayos de la razón (I). Solución
Todas las actrices van al mismo dentista

    El fallo está en la parte en la que se deduce que la afirmación es cierta para n+1 actrices suponiéndolo cierto para n. El razonamiento que se hace no es válido para el caso en el que n=2, es decir, para sólo dos actrices, porque en ese caso no hay nadie más aparte de Helen y de Liv y no podemos hablar de "el resto de ellas". No tenemos entonces ningún grupo de actrices sobrantes con el que continuar el razonamiento. Como dice Nicolas Cianci en la primera respuesta correcta recibida,

    "El razonamiento n->n+1 es cierto para cualquier n>1... de hecho es fácil ver que si dos actrices cualesquiera van al mismo dentista, entonces todas van al mismo dentista. Pero cuando quitamos del grupo de n+1 a una actriz el conjunto debe contener al menos 2 actrices que vayan al mismo dentista para que el razonamiento sea valido; esto es: 2->3, 3->4, 4->5 …, etc. Pero es falso que 1->2 y ahí es donde falla el razonamiento."

    En una demostración por inducción el razonamiento que se usa para pasar de n a n+1 debe ser válido siempre que no hayamos demostrado anteriormente la afirmación de la que se trata para n+1. Para que la prueba fuera válida en este caso necesitaríamos demostrar la afirmación para n=2, cosa que desde luego no puede hacerse, ¡imaginad!. Que todas las actrices van al mismo dentista, qué barbaridad.

    Dos o tres personas contestan que el fallo tiene algo que ver con que el conjunto de actrices no está ordenado, o con que en la demostración lo desordenamos. ¡Esto no tiene nada que ver!. No está dentro de la cuestión si las actrices están ordenadas o no. En general la inducción se aplica para probar propiedades que dependen de un cierto número natural n y el orden no suele tener un papel importante en este tipo de pruebas porque se sobreentiende que los naturales están ordenados como siempre. En el enunciado de la pregunta podéis ver que lo que se quería demostrar se refiere a los números naturales y no directamente a las actrices.

    Me dicen que este problema fue propuesto (¿originalmente?) por George Polya. De la respuesta de Juan Martínez Tarrazó:

    "Es el mismo problema de "todas las niñas son rubias" que propuso George Polya. Hay aún un problema más curioso, que ahora no recuerdo, donde se preguntaba algo parecido sobre paralelismo o perpendicularidad de n rectas en el plano o espacio llegando a la paradoja de que todas son paralelas o perpendiculares o algo así, donde lo que fallaba era el paso de n=2 a n=3. Siendo la base, n=1, y el paso de n=1 a n=2 verdaderos."

    La misma persona nos dice que el problema de las niñas rubias (el mismo que éste) está en el libro de George Pólya Matemáticas y Razonamiento Plausible, así como en la página 31 del libro Matemática Discreta (2ª ed.) de J. C. Ferrando y V. Gregori, publicado por Reverté.

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