Ha habido
varias respuestas a la primera pregunta, y todas dan la solución
haciendo un recuento de las posibles posiciones de la carta ganadora.
Por ejemplo, la explicación de Santiago A. Martín es la siguiente:
“Funciona siempre por lo siguiente: al separar el primer montón
y ponerlo al medio me aseguro que la carta elegida este dentro
de las posiciones 8 a 14 dentro del mazo. De esa forma, al armar
otra vez los montones, uno de ellos contendrá nuestra carta entre
las posiciones 3 y 5 de dicho montón. Al poner el montón de nuevo
en el centro del mazo la carta estará siempre dentro de las posiciones
10 a 12 del mazo. Al armar nuevamente los montones las tres cartas
de las posiciones 10 a 12 se ubicaran en la mitad de cada montón
(posición 4). Luego al poner ese montón en la mitad del mazo,
la carta queda en la posición 7 + 4=11.
Nota: una variante del juego seria obviar la ultima mezcla de
cartas. Cuando se selecciona por tercera vez el montón donde esta
la carta, tomamos ese montón y ubicamos la cuarta carta.”
También dan una respuesta
parecida Romy Villarroel Santisteban, Arturo Paredes Martínez,
Vicente L. Franco Blasco, Pascual Garrote y Alvaro del Río San
Sebastián.
La segunda pregunta era
más difícil, y no he recibido ninguna demostración de otras posibles
formas de realizar el truco. Aunque yo tampoco tengo una prueba,
estrictamente hablando, voy a mostrar un método que puede convencernos
de las posibles combinaciones de cartas y montones con las que
se puede hacer.
Llamaré n al número de
cartas y m al número de montones en que se piensan repartir. Para
poder repartir las cartas exactamente en los montones, m debe
dividir a n; además, si queremos poner en
medio uno de los montones, m debe ser impar, y por supuesto
mayor que 1. Así, el menor número posible de montones es 3. Además,
como queremos que la carta acabe estando en la mitad del mazo,
n debe ser impar (si no, hay dos cartas que están en medio).
Para expresar más fácilmente
lo que viene a continuación, numeraremos las cartas del mazo,
y de cada montón, de forma que la primera sea la 0. Esto es, que
si decimos que la carta elegida está en la posición 4 del mazo,
querremos decir que es la quinta (contando a partir de la 0, que
es la primera). Igualmente, numeramos los mazos contando desde
el 0 (hasta el m/n-1). Enseguida veremos por qué esto es conveniente.
Supongamos que la carta
elegida, al barajar, queda en la posición p. Entonces, el hecho
de repartir las cartas en mazos no es, curiosamente, más que el
hecho de dividir p por m para obtener el cociente y el resto.
Pensando un poco, puede uno convencerse de que, al hacer los montones,
ocurre que:
(Para esto era útil la numeración empezando por
el 0). Sabiendo esto, después de poner el montón en el centro,
su nueva posición dentro del mazo será:
(Porque a la posición dentro de su montón hay que
sumarle todos las cartas de los montones que se le ponen delante,
que son (m-1)/2 montones, con n/m cartas cada uno).
Esta función de p, que puede parecer complicada, no es más
que el cociente de p por m, más una constante. Si uno representa
esta función para algunos valores válidos de n y m, puede ver
que tiene forma de escalera, en la que cada peldaño sube una unidad
y tiene una longitud de m unidades. Repetir el proceso de repartir
las caras en montones y poner el elegido en el medio equivale
a aplicar repetidamente esta función a p.
Usando esto (por
ejemplo, representando la función y aplicándola en el gráfico.
Al lado está representada para n=21 y m=3. En el eje horizontal
va p, y en el vertical la nueva posición.) es fácil obtener las
siguientes consecuencias (para aquellos que lo conozcan, sorprendentemente,
esto tiene un aire al teorema del punto fijo de Banach, y la función
converge a su único punto fijo):
-
La carta elegida siempre acaba estando,
más pronto o más tarde, en la mitad del mazo, siempre que
m y n cumplan las propiedades que hemos dicho al principio.
-
Después de 21, el siguiente posible número de
cartas es 27, y 3 montones. Puede verse que en este caso,
es posible que hiciera falta repartir los montones cuatro
veces, lo que haría el juego más lento. El número de veces
necesarias aumenta con el número de cartas.
-
Puede hacerse también con más montones. Por
ejemplo, con 25 cartas y 5 montones sólo hace falta repartir
en montones tres veces. Con el siguiente posible, 35 cartas
y 5 montones, también basta con tres veces.
En conclusión: el truco puede hacerse con
cualquier número impar de cartas y montones que nos permitan repartir
las cartas en montones exactamente, con la desventaja de que puede
que haga falta repartir más veces. Yo creo que la variante de
35 cartas y 5 montones no está mal, aunque hace el truco demasiado
largo, tal vez. El que lo inventó eligió una combinación bastante
buena de cartas y montones, es posible que la mejor.
Añadido del 28/11/2000
Vicente Lorenzo observa sobre la anterior
solución que:
"El juego que se plantea es un caso
particular de otro más general.
Se pide a un espectador que seleccione una carta entre un mazo
de lm. A continuación, se dispone el mazo alternativamente en
l PILAS de m cartas y se pide al espectador que indique cuál es
la pila en la que se encuentra la carta seleccionada. Se recogen
las l pilas de modo que aquélla que contiene la carta seleccionada
ocupe el segundo lugar. Esta última operación se repita en otras
dos ocasiones y si:
[(m+h)/l] = [(m+k)/l]
= p,
siendo
h = [m/l] y k=[(2m-1)/l],
donde los corchetes denotan la parte entera del cociente, la carta
seleccionada aparecerá en el lugar p+1 del segundo montón.
Para el caso que se plantea,
21 cartas en 3 pilas de 7 cartas, se tiene:
l = 3, m = 7
h =[7/3] = 2,
k=[(2.7-1)/3] = 3
[(m+h)/l] = [(7+2)/3]
= 3, [(m+k)/l] = [(7+3)/3] = 3 => p = 3
y, en consecuencia, la carta seleccionada debe aparecer en el
cuarto lugar
del segundo montón.
Si se sigue el procedimiento anterior
no es difícil encontrar otras combinaciones de los valores l y
m que también permiten obtener los resultados buscados.
Una discusión sobre la solución del problema
propuesto y de otros relacionados con él se puede encontrar en
las páginas 328-333 del excelente libro de W.W. Rouse Ball y H.M.
Coxeter titulado "Mathematical Recreations an Essays" que fue
publicado por Dover Publications Inc."
