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Karl Friedrich Gauss  
 
Debemos admitir con humildad que, mientras el número es puramente un producto de nuestra mente, el espacio tiene una realidad fuera de ella. Por tanto, a priori no podemos describir completamente sus propiedades.
 
El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ El truco de las siete tarjetas. Solución
.: Juegos :.
El truco de las siete tarjetas. Solución

    A este juego he recibido muchas respuestas completas, así que las pondremos en orden de recepción. El primero que envió una explicación clara fue José A. Blázquez, y es la siguiente:

    "La solución se fundamenta en expresar el número en base dos. La primera tarjeta estará encabezada por 1, la segunda por 2,  la tercera por 4, la cuarta por 8, la quinta por 16, la sexta por 32 y la séptima por 64. Un número cualquiera entre 1 y 100 (en realidad podríamos hacer el truco para números entre 1 y 127) se expresa como forma única  como suma de estas potencias de dos, por lo que cada número aparecerá en las tarjetas encabezadas por aquellas potencias de dos cuya suma da ese número. De esta manera, para saber el número elegido  bastará sumar las potencias de dos de las tarjetas que nos den.

    [...] Se puede hacer el truco con cinco tarjetas, pero variándolo un poquito. Si nos basamos en base tres, bastaría con las cinco primeras potencias de 3 (incluyendo 3 elevado a cero), pero además de decirnos en qué tarjetas aparece el número se nos debe decir si está en la tarjeta una  o dos veces."

    Y el primero en enviar una lista explícita de los números que deben aparecer en cada tarjeta fue Lorenzo Acedos Malagón, y es ésta:

1ª tarjeta - 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33
35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71
73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

2ª tarjeta - 2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34
35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63 66 67 70 71
74 75 78 79 82 83 86 87 90 91 94 95 98 99

3ª tarjeta - 4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36
37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 68 69 70 71
76 77 78 79 84 85 86 87 92 93 94 95 100

4ª tarjeta - 8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31
40 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63 72 73 74
75 76 77 78 79 88 89 90 91 92 93 94 95

5ª tarjeta - 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 80 81
82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

6ª tarjeta - 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54  55 56 57 58 59 60 61 62 63 96 97
98 99 100

7ª tarjeta - 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
98 99 100.

    En cuanto a la segunda pregunta que hacíamos, esta solución no es ni mucho menos la única posible. Simplemente, es la que se da siempre porque se hace de forma más elegante y además nos permite averiguar de forma rápida cuál era el número elegido: basta sumar el primer número de cada tarjeta que le devuelven a la persona que hace el truco. Por ejemplo, si el número que piensa el jugador es el 27, éste debería devolver las tarjetas 1ª, 2ª, 4ª y 5ª. Los primeros números de estas tarjetas suman 27. Sin embargo, en teoría hay millones de formas de hacer lo mismo, que pueden expresarse a partir de ésta: basta cambiar de orden todos los números del uno al cien y hacer las mismas tarjetas anteriores pero "traduciendo" cada número al que le corresponde en nuestro nuevo orden. Es decir, escribimos una lista desordenada de los números del uno al cien, y en lugar de empezar la primera tarjeta con "1 3 5" empezamos con el primero de nuestra lista, el tercero y el quinto, y así sucesivamente. Para hacer el truco, se hace exactamente lo mismo que antes, pero antes de sumar el primer número de cada tarjeta, se vuelven a traducir: se buscan en la lista y se suman los lugares que ocupan en ésta. Si esta operación nos da diez, por ejemplo, buscamos ahora el décimo número de nuestra lista y ése debe ser el número pensado. Xavi Xarles ha hecho esto formalmente y ha obtenido que el número de formas posibles de hacer el truco es:    

128!/28! = 25095088684418785424559383938817
11585298803477061231975463648442472229992
10845648471555066858564973280265161784342
74013184712951668693179460882878611566939
3408000000000000000000000000                                               

dividido por 7! si no contamos como distintas las soluciones que intercambian unas tarjetas con otras. No está mal.

    Hay mucha gente que observa que el truco puede hacerse en realidad con un número del uno al 127. Es cierto, pero si se hiciese así cualquiera que estudiase algo de informática y/o hubiese usado alguna vez los números binarios iba a sospechar inmediatamente: "hmmm, 127, ¿por qué una potencia de dos menos uno?", diría. El hacerlo hasta cien despista más, y esconde la base del truco.

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