A este juego he recibido
muchas respuestas completas, así que las pondremos en orden de
recepción. El primero que envió una explicación clara fue José
A. Blázquez, y es la siguiente:
"La solución se fundamenta en expresar
el número en base dos. La primera tarjeta estará encabezada
por 1, la segunda por 2, la tercera por 4, la cuarta por
8, la quinta por 16, la sexta por 32 y la séptima por 64. Un
número cualquiera entre 1 y 100 (en realidad podríamos hacer
el truco para números entre 1 y 127) se expresa como forma única
como suma de estas potencias de dos, por lo que cada número
aparecerá en las tarjetas encabezadas por aquellas potencias
de dos cuya suma da ese número. De esta manera, para saber el
número elegido bastará sumar las potencias de dos de las
tarjetas que nos den.
[...] Se puede hacer
el truco con cinco tarjetas, pero variándolo un poquito. Si
nos basamos en base tres, bastaría con las cinco primeras potencias
de 3 (incluyendo 3 elevado a cero), pero además de decirnos
en qué tarjetas aparece el número se nos debe decir si está
en la tarjeta una o dos veces."
Y el primero en enviar una
lista explícita de los números que deben aparecer en cada tarjeta
fue Lorenzo Acedos Malagón, y es ésta:
1ª tarjeta - 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
25 27 29 31 33
35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71
73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99
2ª tarjeta - 2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22
23 26 27 30 31 34
35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63 66 67 70 71
74 75 78 79 82 83 86 87 90 91 94 95 98 99
3ª tarjeta - 4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22
23 28 29 30 31 36
37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 68 69 70 71
76 77 78 79 84 85 86 87 92 93 94 95 100
4ª tarjeta - 8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26
27 28 29 30 31
40 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63 72 73 74
75 76 77 78 79 88 89 90 91 92 93 94 95
5ª tarjeta - 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
31 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 80 81
82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
6ª tarjeta - 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
42 43 44 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 96 97
98 99 100
7ª tarjeta - 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
98 99 100.
En cuanto a la segunda pregunta
que hacíamos, esta solución no es ni mucho menos la única posible.
Simplemente, es la que se da siempre porque se hace de forma más
elegante y además nos permite averiguar de forma rápida cuál era
el número elegido: basta sumar el primer número de cada tarjeta
que le devuelven a la persona que hace el truco. Por ejemplo,
si el número que piensa el jugador es el 27, éste debería devolver
las tarjetas 1ª, 2ª, 4ª y 5ª. Los primeros números de estas tarjetas
suman 27. Sin embargo, en teoría hay millones de formas de hacer
lo mismo, que pueden expresarse a partir de ésta: basta cambiar
de orden todos los números del uno al cien y hacer las mismas
tarjetas anteriores pero "traduciendo" cada número al
que le corresponde en nuestro nuevo orden. Es decir, escribimos
una lista desordenada de los números del uno al cien, y en lugar
de empezar la primera tarjeta con "1 3 5" empezamos
con el primero de nuestra lista, el tercero y el quinto, y así
sucesivamente. Para hacer el truco, se hace exactamente lo mismo
que antes, pero antes de sumar el primer número de cada tarjeta,
se vuelven a traducir: se buscan en la lista y se suman los lugares
que ocupan en ésta. Si esta operación nos da diez, por ejemplo,
buscamos ahora el décimo número de nuestra lista y ése debe ser
el número pensado. Xavi Xarles ha hecho esto formalmente y ha
obtenido que el número de formas posibles de hacer el truco es:
128!/28! = 25095088684418785424559383938817
11585298803477061231975463648442472229992
10845648471555066858564973280265161784342
74013184712951668693179460882878611566939
3408000000000000000000000000
dividido por 7! si no contamos como distintas las
soluciones que intercambian unas tarjetas con otras. No está mal.
Hay mucha gente que observa
que el truco puede hacerse en realidad con un número del uno al
127. Es cierto, pero si se hiciese así cualquiera que estudiase
algo de informática y/o hubiese usado alguna vez los números binarios
iba a sospechar inmediatamente: "hmmm, 127, ¿por qué una
potencia de dos menos uno?", diría. El hacerlo hasta cien
despista más, y esconde la base del truco.
