Si los puntos están
regularmente espaciados, el problema es bastante díficil
(ver PDF).
Si ponemos la condición de que no se corten tres cuerdas
en el mismo punto interior, la cuestión es más fácil.
Hay Comb(n, 4) puntos interiores
de corte, pues cada uno de ellos está univocamente determinado
por cada cuatro puntos en la circunferencia.
¿En cuantos segmentos
quedan divididas las cuerdas?
Cada punto interior delimita
4 segmentos, en las dos cuerdas que se cortan en él. Excepto
los que tienen un punto en la circunferencia como extremo, estos
segmentos están contados así dos veces. Además
tenemos que añadir las n cuerdas que unen cada punto en
la circunferencia con sus vecinos. Tenemos entonces
(n(n-3) + (Comb(n, 4) - n(n-3))/2 +
n =
= n(n^3 - 6n^2 + 17n - 12)/12 aristas
El número de vértices es n + Comb(n,
4).
Por tanto, el de caras, segun el teorema de Euler
para poliedros, es
C = A - V + 2
pero de aquí debe descontarse la cara infinita
exterior y añadirse los n segmentos circulares, delimitados
por la circunferencia y las cuerdas que unen puntos vecinos. Queda
C(n)=n(n^3 - 6n^2 + 17n - 12)/12 -
(Comb(n, 4) + n) + 2 - 1 + n =
= (n^4 - 6n^3 + 23n^2 - 18n + 24)/24
Que da para 1, 2, 10 puntos:
1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256
Uno de los mejores ejemplos
que conozco de los peligros de las generalizaciones apresuradas,
pues hasta n = 5, parece que la fórmula correcta es 2^(n-1).
Ignacio Larrosa Cañéstro
