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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ De círculos y cuerdas. Enunciado
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De círculos y cuerdas. Enunciado

    Si los puntos están regularmente espaciados, el problema es bastante díficil (ver PDF). Si ponemos la condición de que no se corten tres cuerdas en el mismo punto interior, la cuestión es más fácil.

    Hay Comb(n, 4) puntos interiores de corte, pues cada uno de ellos está univocamente determinado por cada cuatro puntos en la circunferencia.

    ¿En cuantos segmentos quedan divididas las cuerdas?

    Cada punto interior delimita 4 segmentos, en las dos cuerdas que se cortan en él. Excepto los que tienen un punto en la circunferencia como extremo, estos segmentos están contados así dos veces. Además tenemos que añadir las n cuerdas que unen cada punto en la circunferencia con sus vecinos. Tenemos entonces

(n(n-3) + (Comb(n, 4) - n(n-3))/2 + n =
= n(n^3 - 6n^2 + 17n - 12)/12 aristas

    El número de vértices es n + Comb(n, 4).

    Por tanto, el de caras, segun el teorema de Euler para poliedros, es

C = A - V + 2

pero de aquí debe descontarse la cara infinita exterior y añadirse los n segmentos circulares, delimitados por la circunferencia y las cuerdas que unen puntos vecinos. Queda

C(n)=n(n^3 - 6n^2 + 17n - 12)/12 - (Comb(n, 4) + n) + 2 - 1 + n =
= (n^4 - 6n^3 + 23n^2 - 18n + 24)/24

    Que da para 1, 2, 10 puntos:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256

    Uno de los mejores ejemplos que conozco de los peligros de las generalizaciones apresuradas, pues hasta n = 5, parece que la fórmula correcta es 2^(n-1).

Ignacio Larrosa Cañéstro

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