Una figura que cumple lo que se pide es la gráfica de la función
logaritmo. Las únicas respuestas que la mencionan son las de Nicolás
Cianci, José E. Sánchez y Guillem Huguet Serra. Ésta última dice:
La gráfica de la función logaritmo cumple con las condiciones del problema, ya que 'log(ax)= log x + log a', de donde una compresión
horizontal da lugar a una traslación vertical. Además es claramente
homeomorfa a la recta real, al ser 'log x' una función continua en
'(0, +¥ )'.
Como ya dije, hay muchos dibujos que se desplazan o no se mueven al
comprimirlos. Manolo Sánchez dio de hecho un método general con el que
se pueden encontrar todos los dibujos que no cambian al
comprimirlos. El único dibujo homeomorfo a una recta que he encontrado
y que lo cumple es, salvo las rectas, la gráfica de la función
logaritmo. ¿Cuál es el aspecto de esta función?
(El gráfico representa el logaritmo en base 10).
Por sorprendente que
parezca, la forma especial de esta función hace que cumpla la
propiedad de la que hablábamos. Si ahora mismo te estás preguntando
qué era el logaritmo echa un vistazo a
http://planetmath.org/encyclopedia/Logarithm.html (en inglés) o
http://personal.redestb.es/javfuetub/aritmetica/logaritm.htm (en
español). Dicho rápidamente, un número 'x' es el logaritmo de otro
número 'y' (en base 10) si 10 elevado a 'x' da 'y'. El logaritmo de
'x' es la contestación a la pregunta "¿a qué número tengo que elevar
10 para obtener 'x'?''. Los logaritmos en otras bases se definen de
forma análoga, pero aquí sólo usaremos los de base 10.
Las gráficas de las funciones tienen un comportamiento curioso. Si 'f'
es una función, obtenemos su gráfica poniendo puntos en el plano con
coordenadas '(x,y)' de forma que 'y = f(x)'. La gráfica de la función
'g(x) = f(2x)' es el mismo dibujo que la gráfica de la función 'f',
pero comprimido horizontalmente la mitad de su tamaño. La gráfica de
'h(x) = 1/2 f(x)' es, por otra parte, la misma que la de 'f' pero esta
vez comprimida verticalmente a la mitad. Si sumamos un número a la
función, la gráfica se desplaza hacia arriba esa distancia, o hacia
abajo si el número es negativo.
La función logaritmo cumple muchas propiedades que la hacen especial
entre las demás funciones. Entre ellas está la siguiente: si 'a, x'
son números positivos, entonces 'log(ax)= log x + log a'. Dicho de
otra forma: la gráfica del logaritmo, comprimida horizontalmente, es
igual que la gráfica del logaritmo, desplazada hacia arriba una
distancia 'log a'.
¿Es la gráfica del logaritmo la única solución posible?
