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Joseph Fourier  
 
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Paradoja del Examen Sorpresa. Solución

    Esta paradoja es, como decía en el enunciado, una de las más famosas y seguramente, la más polémica. No pretendo, por supuesto, dar ninguna respuesta definitiva teniendo en cuenta que parece ser que no hay un acuerdo unánime entre los estudios publicados. Este resumen está basado en el artículo del American Mathematical Monthly que mencioné en el enunciado, y éste dice en uno de sus primeros párrafos:

    " [...] El segundo hecho sorprendente es que hasta hoy cerca de un centenar de trabajos se han publicado, y todavía no se ha alcanzado ningún consenso sobre su correcta resolución. [...] Si no, ¿porqué un estudio tras otro empieza apartando bruscamente todo el trabajo previo y afirmando que tan sólo allí se presenta la tan esperada solución sencilla que resuelve la paradoja de una vez por todas?"

    Algo bueno de las matemáticas es que están completamente abiertas a cualquier observador con el tiempo y ganas suficientes. Juzgue usted mismo.

    Muy pocas de las respuestas recibidas tenían algo que ver con las comúnmente aceptadas; por eso hace tiempo publicamos un aviso de que el error no era un truco barato del enunciado, algo así como "es que sorpresa puede ser si el examen es de lengua y se lo esperaban de física". Es importante ver que el problema consiste en que el razonamiento de los alumnos parece lógicamente correcto, y además la afirmación del profesor también lo parece (al final resulta cierta), y sin embargo se contradicen, de ahí la paradoja. Os agradezco las respuestas a todos los que las habéis enviado, pero hay demasiadas y es muy trabajoso recogerlas todas. No penséis mal: las he leído sin excepción. Como dije en la última actualización, si alguien quiere encargarse de escribir una página con un resumen de las respuestas de los lectores, es bienvenido.

    Hay varios tipos de soluciones. Primero, las solución de tipo lógico, que consiste en expresar matemáticamente el enunciado del profesor y el razonamiento de los alumnos, y ver qué es lo que va mal. Al seguir este proceso (que no es necesariamente único, y se presta a opiniones), cosa que no es sencilla sin buenos conocimientos de lógica, se encuentra uno con que lo difícil es expresar el enunciado del profesor. De hecho, otras famosas paradojas se basan en frases sin sentido que se refieren a sí mismas, llamadas autorreferentes. El ejemplo más conocido de paradoja así es quizá el de "esta frase es mentira". Este tipo de construcciones no se permiten en lógica, al menos en todos los casos. Ciertos casos especiales sí se permiten, y esto tiene que ver con la demostración del famoso teorema de incompletitud de Gödel, cosa que no puedo explicar porque, al menos por ahora, entiendo de ella poco menos que nada. El caso es que el análisis de la frase del profesor, una vez formalizada, lleva a la conclusión de que es una frase mal formada; es decir, se contradice a sí misma y es la causa de la paradoja. Es algo así como si dijese: "va a haber un examen mañana, pero vosotros no lo sabéis, ¿eh?". Una explicación más sencilla (o más correcta) está fuera de mi alcance. Tengo un amigo que dice en esencia que la lógica no sirve para nada: sólo para poner en simbolillos cosas que se pueden decir normalmente; pues bien, éste es un buen ejemplo para ver que el lenguaje usual a veces se queda corto y es impreciso para ciertas cosas, y está bien poder razonar de forma precisa y objetiva para ver dónde nos equivocamos. "Sí, claro" - me diría - "pero sólo en casos raros y complicados como éste". Bueno, eso es otro tema.

    En segundo lugar, están las soluciones que en el artículo llama "epistemológicas". Se trata de expresar la frase del profesor y el razonamiento de los alumnos usando símbolos formales que codifican creencias del tipo "los alumnos creen que el examen será el lunes" o "los alumnos saben que el examen ocurrirá algún día". A continuación, se pueden deducir otra afirmaciones usando ciertas reglas comunes (que pueden aceptarse o no; este punto tampoco es unánime) que tienen un aspecto muy razonable. Es bonito ver el aspecto que tiene la frase del profesor una vez expresada en este lenguaje, e intentar entenderla. Es precisa y exacta. No os asustéis al verla:

    [1 => ~Ka 1] & [2 => (~Kb 2 & Kb ~1)] & [1 v 2]

    Explicación: para formalizar el enunciado es más simple, y no modifica lo esencial del problema, suponer que la semana tiene tan sólo dos días. Así, "1" significa "el examen tiene lugar el primer día" y "2" significa "el examen tiene lugar el segundo día". "Ka" significa "la víspera del primer día los estudiantes saben que..." y "Kb" es lo mismo, pero con el segundo día. "&" significa el "y" habitual en lógica, al igual que "v" es el "o" y "=>" significa "implica". Por último, "~" es la negación. De esta forma, el enunciado anterior se lee como:

    "Lo que dice el profesor es que son ciertas tres cosas:

    a) Si el examen ocurre el primer día, la víspera de ese día los estudiantes no sabrán que el examen es el primer día.
    b) Si el examen es el segundo día, la víspera de ese día los estudiantes no sabrán que el examen es el segundo día y además, sabrán que el examen no ha sido el primer día.
    c) El examen ocurrirá en alguno de los dos días."

    Limpio, ¿no?. Las reglas de inferencia de las que hablaba antes son tres supuestos sobre el conocimiento, que a primera vista pueden parecer tonterías, pero que son útiles como axiomas y que no dejan de tener puntos folosóficamente controvertidos:

    1) Si una persona sabe A & B, entonces sabe A y sabe B. De la misma forma, si uno sabe que A=>B y sabe A, sabe también B.
    2) Suponemos que los estudiantes conocen todas las verdades lógicas. (Es decir, que los estudiantes pueden razonar con corrección todo lo que se nos pueda ocurrir a nosotros).
    3) No es posible saber algo que es falso

    Esto último es casi una definición de "saber". Estamos diciendo que "saber" significa "creer algo que es correcto". Formalmente, significa que si una afirmación no es cierta, entonces podemos decir que no es cierto que los alumnos la sepan. Pues bien: usando esas tres reglas y dándole vueltas a lo anterior puede obtenerse una contradicción, cosa que si copiase aquí creo que provocaría que la gente no volviera a pisar esta página nunca más. Podéis leerlo en el artículo del que hablo, podéis intentarlo vosotros mismos o podéis ignorarlo. Esa contradicción es, por supuesto, la base de la paradoja.

    Por último, hay análisis basados en el cálculo de probabilidades, razonamientos parecidos a los anteriores que formalizan los argumentos de forma distinta, y por lo visto muchos otros planteamientos que al final deciden de una forma u otra que el enunciado del profesor está mal construido o es contradictorio.

    Después de eso, queda la opinión que más me gusta a mí, y que recibí como respuesta de una amiga: "pero bueno, si es un examen sorpresa, ¿a qué va y se lo dice?".

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