Gracias a Óscar Zunzarren, Federico Zapata, Pedro Rupin, Nicolás
Cianci,
Héctor Pasten (Chile), Gabriel Gálvez, Miquel Capó Dolz (Ciutadella
de
Menorca, en las Baleares), Manuel Bernal (Galway, Irlanda), Miguel
Rodríguez y a todos los que habéis enviado respuestas a este
problema.
Como habréis notado, cualquier solución deja claro el por qué del
nombre de la prueba. Ésta es la respuesta de Óscar Zunzarren:
Primero debemos fijarnos en una particularidad de los múltiplos de 9:
sus cifras siempre suman 9 o un múltiplo de 9, de forma que si
volvemos a sumar las cifras de la suma y repetimos el proceso alguna
vez se obtiene 9. Por ejemplo, 7.364.556 es múltiplo de 9 y
7+3+6+4+5+5+6 = 36, 3+6 = 9.
Para los que no lo son, al reducirlos de igual forma a un número de
una sola cifra obtenemos el resto de dividirlos entre 9. Por ejemplo,
64.735 = (7.192 x 9)+7, y 6+4+7+3+5 = 25, 2+5 = 7.
En una división sabemos que dividendo = divisor x cociente; ésta es la
prueba real para comprobar si está bien la operación.
Si en una división expresamos el divisor como un múltiplo de 9
(llamémosle D) más un resto R y cociente como otro múltiplo de 9 (C)
más otro resto S:
divisor = D+R
cociente = C+S,
al multiplicarlos obtendremos la siguiente expresión:
DxC + DxS + RxC + RxS.
Si reducimos esta expresión a una sola cifra como hemos explicado
anteriormente, obtendremos el resto de dividirla por nueve (o nueve
si
es divisible por nueve); como tanto DxC como DxS y RxC son múltiplos
de nueve, bastará con reducir a una sola cifra RxS y el resultado que
obtengamos deberá ser igual a la reducción a una sola cifra del
dividendo.
Esto no significa que la prueba del nueve sea infalible: basta
alterar
el orden de dos cifras en el ejemplo del enunciado para comprobar que
aunque la prueba nos indica que la operación es correcta en realidad
no
lo es: ¿8.058 : 34 = 273?
Sin embargo, si la prueba no se cumple sí podemos afirmar que nos
hemos equivocado en la operación.
En cuanto a una división con resto, basta reducir éste a una cifra,
sumarlo al producto reducido del cociente por el divisor y comparar
esta suma con el dividendo reducido:
8.060 = (34 x 237) + 2
8+0+6+0 = 14, 1+4 = 5
3+4 = 7
2+3+7 = 12, 1+2 = 3
7x3 = 21, 2+1 = 3
3+2 = 5
He elegido esta respuesta porque me parece clara y simple, y porque
no
requiere ningún conocimiento especial de matemáticas. Sin embargo, ¿cómo sabemos que al sumar las cifras de un múltiplo de nueve se
obtiene un múltiplo de nueve? ¿Y cómo sabemos que sumando las cifras
de otros números repetidamente finalmente se obtiene el resto de
dividirlos por nueve? Uno puede convencerse de esto probando aquí y
allá y viendo qué ocurre con las cifras de un número al sumar nueve:
36, 45, 54, 63, 72... ¿veis alguna regularidad?. El que esto pase
siempre parece casi mágico. ¿Es una casualidad? ¿Es parte de algún
principio más general?
Una forma de entender por qué ocurre lo anterior y por qué funciona
la
prueba del nueve es usar el concepto que en matemáticas se conoce
como
congruencia, como ahora explicaremos. Sólo entonces se nota cierta
estructura general que resulta muy útil en una gran cantidad de
problemas. Si ya sabes lo que son las congruencias, puedes leer
directamente la respuesta de Federico Zapata más abajo, o la de
Pedro Rupin (PDF), completa y más técnica.
Congruencias de números enteros
Tomemos el siete, por ejemplo. Si digo que un número es congruente
con
otro módulo siete, lo que quiero decir es que los dos números dan el
mismo resto al dividirlos por siete: 12 es congruente con 26 módulo 7
porque tanto 12 como 26 dan de resto 5 al dividirlos por 7; pero 9 no
es congruente con 35 módulo 7. La definición análoga vale para otros
números que no sean el siete, claro (he cogido el siete simplemente
para poner ejemplos concretos). Dado cualquier número, los números
que
son congruentes con él módulo siete van "de siete en siete": 5, 12,
19, 26, 33... son todos congruentes módulo siete.
La gracia de esto es que uno puede hacer sumas, restas y
multiplicaciones "módulo algo". La idea fundamental es que
Si a es congruente con A módulo M
y b es congruente con B módulo M,
entonces
1) a+b es congruente con A+B módulo M
2) a-b es congruente con A-B módulo M
3) a x b es congruente con A x B módulo M
No vamos a demostrar esto aquí, pero si queréis pensarlo, el
razonamiento en la respuesta de Óscar Zunzarren puede daros alguna
pista. ¿Qué queríamos decir con lo de "hacer cuentas módulo 7"?
Supongamos que tenemos dos números a, b, y que por algún motivo lo
que
nos interesa es saber el resto de a+b al dividirlo por 7. Usando lo
anterior sabemos que en lugar de a y b podemos poner dos números A, B
congruentes con a, b módulo 7, respectivamente, y entonces calcular
el
resto de A+B al dividirlo por siete. ¡La respuesta debe ser la misma
tal como dice 1)!. Claro, esto nos permite cambiar a y b por números
mucho más sencillos. De la misma forma, las afirmaciones 1), 2) y 3)
juntas nos dicen que podemos hacer el mismo tipo de simplificación en
cualquier cuenta siempre que ésta incluya sólo sumas, restas y
multiplicaciones, y siempre suponiendo que al final sólo nos interesa
el resto de dividir el resultado por cierto número.
Volviendo a la prueba del nueve, supongamos que para comprobar una
división no tenemos ganas de multiplicar divisor (d) por cociente (c)
porque son números grandes; ya que no vamos a comprobarla del todo,
al
menos podemos ver si d x c da el mismo resto al dividir por cierto
número (pongamos M) que el dividendo (deberían, ya que esperamos que
sean iguales). 3) nos dice que para hacer eso nos vale con usar
números congruentes con d y c módulo M en lugar de los propios d y
c. También podemos usar cualquier otro número congruente módulo M con
el dividendo, ya que el resto es el mismo (es el significado de ser
congruente módulo M).
Entonces es cuando viene al pelo la curiosa propiedad de la que
hablábamos antes:
Si sumamos las cifras de un número, y luego sumamos las cifras del
resultado, y así sucesivamente, siempre obtenemos números congruentes
con el primero módulo nueve.
Ahora veremos por qué esto es cierto. Así que hacer la prueba
anterior módulo nueve es especialmente fácil, porque calcular números
bajos congruentes módulo nueve con un cierto número es muy fácil:
sólo
suma sus cifras. Ahora vemos que la prueba del nueve comprueba
justamente esto: que divisor por cociente da el mismo resto por nueve
que el dividendo. Claramente, esto no basta para que la división sea
correcta (aunque si esto falla no puede serlo, como dijimos). Visto
así queda patente que la prueba detecta divisiones incorrectas,
digamos,"ocho veces de cada nueve", porque hay más o menos una posibilidad de
nueve de que un resultado incorrecto tenga casualmente el mismo resto
por nueve que el resultado correcto.
¿Por qué al sumar las cifras de un número se obtiene un número
congruente módulo nueve con el primero? ¿Qué característica especial
tiene el nueve?. Veamos la respuesta de Federico Zapata:
Vamos por pasos. En el caso de las divisiones exactas se verifica que
D=d·c (Dividendo=divisor x cociente). Basándonos en las propiedades de
las congruencias podemos tomar congruencias módulo 9. Así D será
congruente a d·c módulo 9. Ahora bien, sabemos que 10 es congruente
con 1 módulo 9. Escribiendo cualquier número de la forma a + b·10 +
c·100 + d·1.000 +... y tomando congruencias módulo 9 tenemos que todo
número es congruente módulo nueve a la suma de sus cifras. Por tanto,
la suma de las cifras de D será congruente al producto de las suma de
las cifras de d por la suma de las cifras de c. Volvemos a tener otra
congruencia de números, a la cual le aplicamos lo mismo. De esta
forma
seguimos hasta que nos queden números de una sola cifra que si son
congruentes módulo 9 es porque son iguales, debido a que hemos de
excluir el caso de que alguna de las sumas sea cero. Esto prueba la
condición necesaria.
En el caso que el resto no sea cero, la prueba vale sumando al
producto de la suma de las cifras de c por la suma de las cifras de d
la suma de las cifras del resto, lo cual se demuestra de forma
similar.
Lamentablemente la condición no es suficiente. Esto se debe a que si
tenemos dos cocientes que son congruentes módulo 9 la congruencia se
seguiría manteniendo y la condición se cumpliría. Se verá más claro
con un ejemplo. El resultado de 585 entre 45 es 13 y resto cero. Si
nos hubiera salido de cociente 22 (que es congruente con 13 módulo
9),
veamos que ocurre:
para el dividendo: 5+8+5 = 18; 1+8 = 9
para el divisor: 4+5 = 9
para el cociente falso: 2+2 = 4
Multiplicándolos tendríamos 9·4 =36
3+6 = 9, con lo cual la prueba da positivo estando mal la división.
Espero que las explicaciones estén suficientemente claras.
Esto es algo muy curioso. Lo que ocurre es que escribir un número
como
hacemos normalmente en base diez es ponerlo como se dice en la
respuesta anterior; por ejemplo, si el número es de tres cifras, cba,
cba = a + b·10 + c·100
Para calcular el resto por nueve de este número podemos calcular el resto por nueve de la expresión de la derecha sustituyendo si
queremos
cualquiera de los números por otro número congruente con él módulo
nueve. ¡La propiedad especial que tiene el nueve es que... 10, 100,
1.000,... son congruentes con 1 módulo 9! Entonces, podemos sustituir
10, 100 por 1 en la expresión anterior y luego calcular el resto por
nueve. ¡Pero eso no es más que sumar las cifras del número!
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