La ilustración
El hombre
primitivo vivía atemorizado y amedrentado ante los hechos naturales
debido a que no podía explicárselos. El mito y la magia dominaban
su pensamiento. Posteriormente y en forma gradual, empezó a comprender
la naturaleza y aprendió a disfrutar de ella.
Los historiadores
sitúan en el siglo XVIII la época en la que dicha comprensión
empezó a afectar la cultura occidental y la llamaron ilustración,
entendiéndose esta palabra, de acuerdo con su sentido etimológico,
como iluminación, referida a la luz de la razón con la cual los
ilustrados aspiraban a regenerar el mundo.
A pesar de
que los ilustrados no se preocupaban generalmente de la metafísica,
sino que lo hacían por los problemas de la conducta humana, se
hacían llamar filósofos; pero en sentido más restringido han sido
llamados enciclopedistas por que sus ideales están condensados
en la Enciclopedia, publicada en Francia en 1751.
Dichas ideas
se pueden resumir de la forma siguiente:
En religión
osciló entre un cristianismo reformista y el ateísmo.
Como grado
intermedio el deísmo. En el aspecto económico tenía un sello característico:
"todo para el pueblo, pero sin el pueblo". Entre las
reformas contaban en primer lugar al racionalización del estado
y la sociedad.
Su pensamiento
social no era revolucionario; para reconciliar la burguesía con
la nobleza comprendían la necesidad de reducir los privilegios
del clero y la nobleza, pero por caminos ordenados y pacíficos.
El pensamiento
económico no era homogéneo; en los comienzos del siglo predominaba
la teoría mercantilista, favorable a la reglamentación y el intervencionismo
del estado, pero a mediados del siglo surge en Francia la tendencia
partidaria de mayor libertad económica, que veía la riqueza fundamental
de las naciones en la agricultura. En Inglaterra aparecen dos
obras que tendrían gran resonancia : El Tratado Sobre la Riqueza
de las Naciones, de Adam Smith, en el cual expone la teoría del
liberalismo económico que habría de triunfar en el siglo XIX,
y el tratado de la Población, de Malthus, en el que expone que
la población tenia tendencia a crecer en población geométrica,
mientras que los recursos alimenticios solo crecían en progresión
aritmética, por lo tanto, la humanidad estaba amenazada por un
hambre general si no se instauraba una limitación de los alimentos.
Otro rasgo
característico de este siglo es su cosmopolismo:
Una cierta
unidad de ideales, de costumbres y hasta de lenguaje; el predominio
del francés se extendió por toda la Europa culta, desde España
hasta Rusia.
En aquella
Europa, Inglaterra tenía una posición especial por su progreso
económico, su hegemonía y su peculiar régimen político parlamentario.
Su avance
económico se debió a un gran perfeccionamiento de las técnicas
agro ganaderas, a su rápido incremento de la población, a su expansión
colonial y, sobre todo, a una temprana industrialización basada
en el aprovechamiento de la hulla, tan abundante en Gran Bretaña.
Allí fue donde, por primera vez, fue utilizada la fuera expansiva
del vapor de agua, que con la invención de ingenios mecánicos,
Inglaterra se asegura la hegemonía en dos sectores: el metalúrgico
y el textil.
A finales
del siglo XVIII, a causa de la sustitución de la influencia de
la nobleza por la de la burguesía, del aumento de la población
-lo que produce un aumento de la mano de obra y la disminución
del nivel de vida- y la influencia de los pensadores franceses
Montesquieu, Voltaire y Rousseau, se iniciará una era de revoluciones
que finalizará en 1850.
En 1783 se
firma el Tratado de Versalles, en el que Inglaterra reconoce la
independencia de los EE.UU. y en 1793 es guillotinado en rey de
Francia Luis XVI.
Progresos científicos.
El conocimiento
científico se desarrollo extraordinariamente durante este siglo.
La química
moderna se inicia con los trabajos del francés Antoine Laurent
Lavosier (1743 - 1795), quien destierra el confusionismo existente
en esta rama del saber y enuncia la ley de conservación de la
materia. El alemán J.B. Richter (1762 - 1807) enuncia la ley que
lleva su nombre y contribuye en gran manera al progreso de las
química, así como al de las ciencias.
El Francés
Charles de Coulomb (1736 - 1806) inventó la balanza de torsión
para medir las fuerzas de magnetismo y electricidad. Estableció
la ley que lleva su nombre, según la cual la atracción o repulsión
de dos cargas eléctricas es directamente proporcional al producto
de cantidad des de electricidad e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia. En su honor, la unidad de carga eléctrica
lleva el nombre de Coulomb.
En 1714,
el alemán G. Fahrenheit (1668 - 1736) construye el primer termómetro
fiable.
En 1742,
el sueco Anders Celsius (1728 - 1799) ideo la escala termométrica
que lleva su nombre,
El escocés
Joseph Black (1728 -1799) descubrió que cada materia tiene un
calor especifico e invento métodos para medir el calor latente.
A fines del
siglo, el italiano Alesandro Volta (1745 - 1827) construyo la
primera pila eléctrica. En su honor se llama voltio a la unidad
de potencial eléctrico.
En medicina
el progreso más significativo se debe al ingles Edward Jenner
(1749 -1823), quien inyectó por primera vez, en 1796, una vacuna
(del latín vaccunus = vaca) contra la viruela.
En Biología, se continua en la investigación
de la estructura de las plantas y animales.
En la segunda
mitad del siglo XVIII, el astrónomo ingles de origen alemán F.G.
Herschel (1738 -1822) utilizando telescopios perfeccionados descubrió
la unidad de los miles de millones de estrellas que forman nuestra
galaxia, esto es inicio el conocimiento de las galaxias. Esto
representó un avance prodigioso, pues la teoría heliocéntrica
quedaba confirmada como verdadera, pero solo en lo concerniente
a nuestro sistema solar.
La matemática ilustrada
El periodo
que va desde el año 1707, fecha en que nació el matemático suizo
Leonard Euler, hasta el año 1804, fecha de la coronación de Napoleón
Bonaparte como emperador de Francia, se denomina periodo de Matemática
ilustrada.
Los matemáticos
de este periodo continuaran explorando los mismos campos de los
que se habían ocupado los grandes innovadores del siglo XVII.
Proseguirán, en gran parte, basándose en la intuición y el sentido
común, Euler creara multitud de aplicaciones para el calculo y
los matemáticos franceses Lagrange y Laplace elaboraran, a través
del cálculo, teorías comprensivas de la mecánica ordinaria y celeste,
creando una sólida base para la astronomía y la ingeniería modernas.
A pesar de
estos éxitos, aparecerá un cierto pesimismo, sobre todo a finales
del siglo XVIII, en el pensamiento matemático. Este pesimismo
queda bien explicitado por Lagrange en una carta dirigida a su
amigo D’Alambert, en 1781, en donde expresa su opinión de
que las matemáticas se estaban ahondando demasiado, con el peligro
de ser destruidas. D’Alambert, en cambio, exhorta a sus alumnos:
"Seguid adelante y la fe vendrá a vosotros".
Por estar
fechas, los matemáticos franceses, más relacionados con la iglesia
y con el ejercito que con la universidad, serán los responsables
de las líneas del desarrollo de las matemáticas del siglo siguiente.
En efecto, ellos estarán implicados en todos los progresos matemáticos
ente el siglo XVIII y principios del siglo XIX, que fueron: el
establecimiento del sistema métrico decimal, el desarrollo del
álgebra, de la geometría analítica, de la teoría de ecuaciones
diferenciales, del cálculo infinitesimal, del calculo de probabilidades,
del calculo de variaciones y la fundamentación de la geometría
descriptiva.
Progresos notacionales.
Nuestro sistema
notacional se deba más a Euler que a ningún otro matemático. En
efecto, no sólo introdujo en símbolo "i" para denotar
, sino que propugno
el uso de la letra griega S en el cálculo, como símbolo de la
suma de un numero infinito de rectángulos y como aproximación
al área limitada por una curva. También utiliza exponentes imaginarios,
escribe las funciones trascendentes elementales, las trigonométricas,
ciclometricas, logarítmicas y exponenciales, así como las notaciones
abreviadas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante
y cotangente, prácticamente como las que utilizamos hoy, y además,
la expresión 
la representa 
,
que es casi idéntica a la expresión utilizada actualmente, que
es 
.
Utiliza por
primera vez la notación "e", base de los logaritmos
neperianos, al parecer sugerido por la primera letra de la palabra
"exponencial", y universaliza el signo actual P , que
había sigo generalizado en Inglaterra.
Las notaciones
que empleamos para las derivadas sucesivas se las debemos a Lagrange.
Laplace utiliza
el operador que hoy conocemos con su nombre, esto es, 
que
es importantisimo en la Matemática - Física
Durante el
siglo XVIII la elaboración científica y matemática se centró casi
exclusivamente en Europa. Gradualmente fue creciendo el papel
de los centros superiores de enseñanza, haciéndose particularmente
notable hacia finales de siglo con la revolución francesa.
Se podría
decir que el siglo XVIII fue un tramite entre los siglos XVII,
cuando se inventaron la geometría analítica y el cálculo infinitesimal
y el siglo XIX, origen del rigor matemático y espectador de lujo
del brillante florecimiento de la geometría.
Los matemáticos
más importantes de la época fueron casi todos franceses: Monge,
Lagrange, D'Alembert, Laplace, legendre, Carnot y Condorcet. las
dos grandísimas excepciones a esta lista fueron Euler y Gauss.
El concepto
de análisis infinitesimal se completó de nuevos hechos, encontrando
las operaciones de diferenciación e integración aplicaciones a
una cada vez mayor gama de funciones, dando lugar al análisis
funcional y dentro de él, al cálculo de variaciones como una de
las partes más importantes del análisis matemático moderno.
Comentar,
por último, que una revisión del desarrollo de las matemáticas
en el siglo XVIII sería incompleta sin nombrar los trabajos teóricos
realizados en el terreno de la probabilidad.
La elaboración
científica de los problemas matemáticos se concentró casi exclusivamente
en los países de Europa.
Junto a la
formación de los fundamentos del análisis matemático -el cálculo
diferencial e integral- hacia comienzos de siglo surgieron resultados
también en sus ramas superiores: la teoría de ecuaciones diferenciales
y el cálculo de variaciones. La teoría de las ecuaciones diferenciales
ordinarias obtuvo un desarrollo sistemático, comenzando con los
trabajos de Jo. Bernoulli y J. Ricatti. Los métodos del cálculo
aritmético se enriquecieron con la aparición de los logaritmos.
Sobre la base de la ampliación del concepto de función al campo
complejo y de la amplia aplicación del desarrollo de funciones
en serie, comenzó a crearse la teoría de funciones de variable
compleja. Se completó igualmente, el conjunto de las disciplinas
geométricas y, además de la ya desarrollada geometría analítica,
se formaba a finales de siglo la geometría descriptiva y se profundizaba
en el estudio de la perspectiva.
Análisis infinitesimal
El problema
de la creación de la teoría de funciones se convirtió en el problema
preliminar del análisis infinitesimal. El concepto de función
tenía dos aspectos: la función como correspondencia y la función
como expresión analítica. Los éxitos prácticos del análisis infinitesimal,
impulsaron a los científicos a poner más atención a este tratamiento
del concepto de función, el cual permitía operar con funciones
concretas. Fue en el transcurso de los años 30 y 40, en lo fundamental
gracias a Euler, cuando se elaboró, sistematizó y clasificó la
teoría de las funciones elementales analíticas. La experiencia
señaló a los matemáticos que todas las funciones conocidas, eran
desarrollables mediante series de potencias. Igualmente se crearon
las premisas para la teoría de funciones de variable compleja.
Uno de los
rasgos más característicos del análisis infinitesimal en el siglo
XVIII era la poca claridad de sus conceptos primarios, la imposibilidad
de explicar racionalmente la validez de las operaciones introducidas.
Las ideas de los creadores del análisis en esta materia no se
distinguían ni por su constancia ni por su determinación. Tanto
Newton como Leibniz llevaron a cabo un conjunto de intentos de
explicar sus cálculos, sin lograr éxito. Entre los numerosos esfuerzos
por encontrar una fundamentación rigurosa al análisis infinitesimal,
destacan los de Euler y D'Alembert. Según Euler, el concepto fundamental
no es el de diferencial, sino el de derivada; en lo que se refiere
a los infinitesimales o diferenciales, ellos son simplemente ceros
exactos. Pero esta teoría de Euler no pudo ser reconocida como
satisfactoria pues se limitaba a enmascarar los pasos reales al
límite, los cuales prácticamente se llevaban a cabo en la diferenciación
de funciones. D'Alembert por su parte, ponía objeciones a la teoría
de los ceros de Eules y sostenía que la notación de los diferenciales
no es más que una manera vaga de hablar, que depende para su justificación
del lenguaje de los límites. Sin embargo, la teoría de los límites
del siglo XVIII, no obtuvo el reconocimiento de la mayoría de
sus contemporáneos. El trabajo más serio que reveló la posibilidad
total del cálculo diferencial algebraico y que determinó su destino
fue el gran trabajo de Lagrange, "Teoría de las funciones
analíticas...". Demostró que toda función y=f(x+h) puede
ser desarrollada en serie de potencias en la forma f(x+h)=f(x)+ph+qh2+rh3...
excepto en determinados valores del argumento. Las series de potencias
fueron pues, utilizadas para la aproximación de cualquier función
por polinomios. Además dedujo la fórmula del resto y el teorema
del valor medio. Los coeficientes del desarrollo polinómico fueron
definidos por Lagrange como derivadas sucesivas. Pero siguió sin
resolver el concepto de límite y las operaciones con series carecían
de fundamento, al realizarse sin el estudio de la convergencia
de la serie. Semejantes dificultades existieron durante mucho
tiempo, hasta que a finales del siglo XIX fue creado el "aparato
delta, epsilon" de la teoría de límites.
Análisis matemático
La riqueza
real del análisis acumulada durante el siglo XVIII es tremenda.
Veamos algunas de sus particularidades.
Cálculo Diferencial
El cálculo
diferencial conservó una estrecha relación con el cálculo de diferencias
finitas, originado en los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y
Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de
interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula
extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas
restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial
y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del
cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de
potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose
casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época.
Pero pronto surgió el problema de la convergencia de las serie,
que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales,
así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes.
Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de
desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas
introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados
del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi
todos los resultados que caracterizan su estructura actual.
Por ejemplo Euler demostró que en
df(x,y)=Pdx+Qdy las derivadas parciales deben satisfacer la condición
Cálculo Integral
Los logros
en este terreno pertenecieron inicialmente a J.Bernoulli, quien
escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742.
Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas
consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida
alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales
de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento
de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales.
Entre ellas citaremos las funciones gamma y beta, el logaritmo
integral o las funciones elípticas. También se desarrolló el método
de las sustituciones complejas.
Ecuaciones Diferenciales
La teoría
de las ecuaciones diferenciales ordinarias se había desarrollado
ya considerablemente antes de esta época, pero el problema más
difícil de la resolución de ecuaciones en derivadas parciales
era entonces un campo abierto para los pioneros. El problema de
la integración de ecuaciones diferenciales, en su inicio, se presentaba
como parte de un problema más general: el problema inverso del
análisis infinitesimal. Además cada una de las ecuaciones estaba
justificada por la existencia de un problema concreto, no existiendo
a principios de siglo una teoría general, con lo que la vía utilizada,
fue la de resolver clases de ecuaciones lo más amplias posibles.
Los primeros intentos de resolución se centraron en las ecuaciones
diferenciales lineales, advirtiéndose resultados notables ya en
los años 20 con los trabajos de Ricatti, Golbach, Bernoulli y
Leibniz. En el año 1743 Euler publicó el método de resolución
de una ecuación diferencial lineal homogéneo de cualquier orden,
mediante la sustitución y=ekx o similares. D'Alembert
encontró en 1766 que la solución general de una ecuación no homogénea
lineal, es igual a la suma de cierta solución particular y la
solución general de la correspondiente ecuación homogénea. Junto
a las ecuaciones diferenciales ordinarias, fueron encontradas
las soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales, llevadas
a cabo especialmente por Euler y D'Alembert. Así, las ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales de segundo orden surgieron
preferentemente en el curso de resolución de problemas físicos,
entre los que cabe señalar el problema de la cuerda, que conduce
a la ecuación: resuelta por Euler. Fue a finales de los 70 cuando
Lagrange estableció la forma de obtener soluciones singulares,
así como la interpretación de las mismas como la familia de envolventes
de las curvas integrales. El estudio de estas familias de curvas
integrales y la solución de problemas sobre la búsqueda de trayectorias
envolventes e isogonales dio lugar a la aparición de una nueva
rama dentro de la geometría: la geometría diferencial.
En resumen,
el aparato del análisis matemático en el transcurso del siglo
XVIII se desarrolló con rapidez extraordinaria tomando una forma
y un volumen próximo al actual. La diferenciación y también la
integración mediante funciones elementales fueron, en lo fundamental
concluidas. Las ecuaciones diferenciales tanto las ordinarias
como en derivadas parciales, poco a poco, se convirtieron en una
parte importantísima del análisis matemático, en su tratamiento
algorítmico-operativo. Junto a la elaboración de los métodos de
resolución de clases independientes de ecuaciones se formaron
los elementos de la teoría general.
Cálculo de variaciones
El cálculo
de variaciones surgido en este siglo, recibió en los trabajos
de Euler y Lagrange la forma de una teoría matemática rigurosa,
posibilitando la resolución de un gran número de problemas de
carácter práctico, referidos a la determinación de los extremos
de las funciones y que no admitían resolución con los medios del
recientemente aparecido análisis infinitesimal. Entre estos problemas
citaremos el de la braquistócrona, el problema isoperimétrico
o el de las líneas geodésicas sobre las superficies.
El primer
método general de resolución de problemas de variaciones, fue
elaborado en una serie de trabajos de Euler durante los años 1726
a 1744, presentando la primera formulación general de un problema
de variaciones unidimensionales en 1735. Cuatro años después,
este método fue generalizado, publicando ya en 1744, el que podríamos
considerar como primer libro de la historia sobre cálculo de variaciones.
En el libro de Euler se citan más de 60 ejemplos que ilustran
las posibilidades del nuevo método. En ellos se demuestra el valor
práctico del cálculo y se establece su estrecha relación con la
mecánica y la física. El objetivo de este método general era la
búsqueda de líneas curvas para las cuales cierta magnitud prefijable,
alcanza su valor máximo o mínimo. Pese a la practicidad del método,
éste adolecía de cierta falta de rigor sobre todo en cuestiones
relacionadas con los pasos al límite.
La situación
cambió como consecuencia de la puesta en común de ideas por parte
de Euler y Lagrange, al comunicar éste último, el método general
analítico de cálculo de la variación de la integral, mediante
la integración por partes. Este método se basaba en la introducción
de la variación de una función y en la extensión a las variaciones
de las reglas del cálculo diferencial. Lagrange fue, además, el
primero en señalar la posibilidad de utilizar la segunda variación
para diferenciar el tipo de extremal encontrado. Con posterioridad
esta posibilidad fue convertida en condición por Legendre y K.
Jacobi (s. XIX) y reafirmada por Weierstrass en 1879
Desarrollo de la geometría
Prácticamente
todas las ramas clásicas de la geometría, excluyendo sólo las
geometrías no euclideanas, se formaron en este siglo. Se trata
de las geometrías analítica, diferencial, descriptiva y proyectiva,
así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometría.
Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron
gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal.
De ellas surgió y se desarrolló la geometría diferencial, la ciencia
que ocupó durante el siglo XVIII el lugar central en al sistema
de las disciplinas geométricas.
Geometría Analítica
Bajo esta
denominación se considera aquella parte de la geometría donde
se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por
ecuaciones algebraicas.
Las puertas
a esta rama fueron abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes
y Fermat, pero sólo incluían problemas planos. Hubo de ser Newton
quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeración
de las curvas de tercer orden", clasificando las curvas según
el número posible de puntos de intersección con una recta, obteniendo
un total de 72 tipos de curvas, que se podían representar por
ecuaciones de cuatro tipos. Si designamos ax3+bx2+cx+d=A,
entonces las soluciones indicadas serán: xy2+ey=A ;
xy=A ; y2=A ; y=A. Sin embargo, lo verdaderamente importante
de esta obra fue el descubrimiento de las nuevas posibilidades
del método de coordenadas, definiendo los signos de las funciones
en los cuatro cuadrantes.
Con posterioridad a Newton, las curvas
de tercer orden fueron estudiadas por Stirling, Maclaurin, Nicolle,
Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebsch
y otros. Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica
de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la
geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas
rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo
lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas.
También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones,
estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus
obras trató las secciones cónicas, las formas canónicas de las
ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas
de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto
orden, demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana.
También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros
y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de
curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas
trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas.
Todo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra "Introducción
al análisis..." que Euler dedicó exclusivamente a la geometría
analítica.
En la segunda
mitad del siglo se introdujeron sólo mejoras parciales, pues en
lo fundamental, la geometría analítica ya estaba formada. Destacaremos
entre otros los nombres de G. Monge, Lacroix y Menier.
Geometría diferencial
Esta disciplina
matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos,
o sea, las curvas, superficies etc... Su singularidad consiste
en que partiendo de la geometría analítica utiliza métodos del
cálculo diferencial.
A comienzos
de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas
planas por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente
a estudiar las curvas espaciales y las superficies. Este traspaso
de los métodos de la geometría bidimensional al caso tridimensional
fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada,
como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler. El primer
logro de Euler en este terreno, fue la obtención de la ecuación
diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie, desarrollando
a continuación una completa teoría de superficies, introduciendo
entre otros el concepto de superficie desarrollable. A finales
de siglo, es desarrollo de esta rama entró en un ligero declive,
debido principalmente a la pesadez y complejidad del aparato matemático.
Geometría descriptiva
y proyectiva
Los métodos
de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones
técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática
especial, se culminó en los trabjos de Monge, cuya obra en este
terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie descriptive".
En la obra se aclara, en primer lugar, el método y objeto de la
geometría descriptiva, prosiguiendo a continuación, con instrucciones
sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza
en capítulos posteriores la intersección de superficies curvas
y la curvatura de líneas y superficies.
El perfeccionamiento
de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos
de proyección contituyeron el contenido fundamental de los trabajos
sobre geometría proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio
de las propiedades proyectivas de los objetos geométricos, surgió
como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las secciones
cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema
y sirven de base a la nueva geometría
Análisis numérico
La independencia
de álgebra y geometría (en contra de las ideas de Descartes) se
determinó ya a comienzos de siglo, cuando en 1707 vio la luz la
"Aritmética Universal" de Newton. En ella el álgebra
se exponía en estrecha relación con el desarrollo de los métodos
de cálculo, relegando las cuestiones geométricas al dominio de
las aplicaciones. La esencia de la obra consiste en reducir cualquier
problema a la formación de una ecuación algebraica, cuya raíz
es la solución del problema. Culmina el libro con los resultados
de la teoría general de ecuaciones y además la resolución gráfica
de éstas, mediante la construcción geométrica de las raíces. Este
famoso tratado contiene las fórmulas, para las sumas de las potencias
de las raíces de una ecuación algebraica, fórmulas conocidas habitualmente
como "identidades de Newton". Aparece también un teorema
que permite determinar el número de raíces reales de un polinomio,
así como una regla para determinar una cota superior de las raíces
positivas.
Después de
la Aritmética Universal de Newton, surgieron una serie de monografías,
especialmente centradas en los procedimientos de resolución numérica
de ecuaciones, elaboradas por Halley, Lagrange, Fourier y Maclaurin
entre otros.
En 1768 apareció
la "Aritmética Universal" de Euler, dictada por éste
cuando ya estaba ciego. En ella se analizan un sin fin de resultados:
se generalizan las reglas de resolución de problemas aritméticos;
se desarrolla el aparato simbólico-literal del álgebra; se aclaran
las operaciones con números, monomios, radicales y complejos;
se introducen los logaritmos; se dan las reglas de extracción
de las raíces de números y de expresiones algebraicas polinomiales;
se introducen las serie como medio de expresión de las funciones
racionales fraccionarias y binomiales con exponentes fraccionarios
y negativos de una potencia; se introducen los números poligonales,
las proporciones y progresiones, las fracciones decimales periódicas
y se estudian los métodos de resolución de ecuaciones algebraicas.
Así, en esencia,
el álgebra se convirtió en la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas.
En ella se incluía además, la elaboración del aparato simbólico-literal
necesario para la resolución de tales ecuaciones. También se profundizó
en el concepto de número, produciéndose de una manera definitiva
la admisión de los números irracionales. Igualmente se profundizó
en las reglas de operaciones con números imaginarios y complejos,
pero siempre bajo la premisa de la obtención de raíces de ecuaciones.
Fue también
Euler quien se ocupó de una manera definitiva de lo que hoy en
día conocemos como teoría de números. Comenzó estudiando los teoremas
de Fermat, para desarrollar a continuación todos los aspectos
de esta teoría, preferentemente utilizando métodos aritméticos
y algebraicos, rehuyendo en la medida de lo posible del análisis
infinitesimal. A él debemos la actual teoría de congruencias,
a la que llegó tras extensos trabajos sobre la divisibilidad y
tras introducir el concepto de raíz primitiva según el módulo
m.
No de menor importancia que la teoría de congruencias fueron sus
trabajos sobre problemas de análisis diofántico, para cuyas necesidades
elaboró y fundamentó la teoría de las fracciones continuas. Asimismo
elaboró los métodos analíticos para la resolución de problema
de la distribución de números primos, en la serie de los números
naturales y también para una serie de problemas aditivos. El primero
de estos problemas fue tratado también por Legendre y Chebyshev.
Para el segundo de los problemas, donde se estudia el desarrollo
de los números grandes en sumandos menores, cabe destacar junto
a Euler los nombres de Waring y Lagrange.
La teoría
de números en el siglo XVIII, se convirtió pues, en una rama independiente,
sintetizada en los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre y Lambert
entre otros, definiéndose prácticamente los principales problemas
y direcciones
Teoría de probabilidades
La teoría
de probabilidades debe más a Laplace que a ningún otro matemático.
Desde1774 escribió muchos artículos sobre el tema y los resultados
obtenidos los incorporó y organizó en su obra "Teoría Analítica
de las Probabilidades" publicada en 1812. Sin embargo el
primero de los resultados teóricos en esta rama fue, al parecer,
la demostración realizada por Moivre en 1730 del teorema local
del límite central.
El problema
del cálculo de probabilidades sobre la base de observaciones en
diferentes aspectos, también fue tratado por D.Bernoulli, Euler,
Simpson y Condorcet, siendo uno de los resultados más importantes
las fórmulas de Bayes publicadas en 1764. Junto a esto Legendre,
Laplace y Gauss elaboraron el método de mínimos cuadrados.
Todo el aparato
matemático que permitió desarrollar la teoría de probabilidades
está extraído del análisis combinatorio, disciplina iniciada por
Leibniz y Ja. Bernoulli. Posteriormente se introdujo la teoría
de límites disminuyendo el peso específico de los métodos combinatorios.
