elparaiso.mat.uned.es

¡Pulsa Aquí!

LO DIJO...

Alfred N. Whitehead  
 
Hace falta una mente muy poco corriente para acometer el análisis de lo obvio.
 
El Paraíso de las Matemáticas - Historia ~ Kepler
.: Historia :.
 
Kepler : El descubrimiento de las leyes de los movimientos planetarios

    Acabamos de ver que, de aquellos tres postulados platónicos que determinaron los principios de la astronomía antigua, Copérnico abandonó el primero (geocentrismo y geoestaticismo), y Tycho puso en cuestión el tercero (la inmutabilidad de los cielos). A pesar de ello tanto Copérnico como Tycho trabajaban todavía con los métodos de la astronomía tradicional y perseguían sus mismos objetivos: hallar combinaciones de movimientos circulares y uniformes para explicar las extrañas trayectorias de los planetas (segundo postulado platónico).

    Quien cambió estos objetivos y rompió, por tanto, definitivamente con la astronomía tradicional fue Kepler. Kepler podría englobarse junto con Copérnico en una tradición intelectual místico-mágica que lo llevó a buscar las proporciones matemáticas, bellas y armoniosas, impuestas al universo por el Dios creador.

    El estudio de la órbita de la Tierra desde una perspectiva heliocentrista llevó a Kepler a descartar la hipótesis del movimiento uniforme. Con los nuevos datos de Tycho de la órbita de Marte, Kepler terminó abandonando también el postulado de la circularidad. El enorme trabajo de la reconciliación entre los datos de Tycho y el modelo heliocéntrico llevó a Kepler a publicar en 1609, en el libro Astronomía nova, las dos primeras leyes del movimiento planetario. Posteriormente, en 1619 publicaría el libro Harmonices mundi (Las armonías del mundo) donde figuraba la tercera ley.

  • Los planetas giran en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de los focos de la elipse
  • La línea recta trazada que une al planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales
  • La razón entre el cuadrado de los periodos de rotación de dos planetas cualesquiera es la misma que la razón entre el cubo de sus distancias medias al Sol.

Figura 4. Los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de los focos de la elipse. El planeta, por tanto, pasa por un punto de máxima proximidad al Sol (perihelio) donde se mueve con la velocidad máxima de toda la órbita y un punto de máximo alejamiento (afelio) donde se mueve con la velocidad mínima

    Kepler intenta además dar una explicación dinámica del porqué los planetas siguen estas leyes. Dentro de la visión de la física aristotélica, creyó que puesto que el movimiento elíptico no puede ser un movimiento natural, se necesita una fuerza que actúe constantemente sobre el planeta para cambiar su movimiento. Postuló por tanto la existencia de unos rayos proyectados por el Sol que arrastraban a los planetas a consecuencia de la rotación del mismo. Esto producía en ellos un movimiento circular de traslación que se convertía en elíptico por efecto de una segunda fuerza. Recogiendo una idea que W. Gilbert había expuesto en De magnete identificó esta segunda fuerza con el magnetismo. La consideración de Gilbert de que la Tierra era un gran imán fue extendida por Kepler a todos los cuerpos del sistema solar, de manera que el juego de atracciones y repulsiones convertía en elípticas las órbitas inicialmente circulares.

La nueva física de Galileo y la respuesta a las objeciones en contra del movimiento de la Tierra.

    En 1633, Galileo Galilei publica una obra divulgativa y propagandista en forma de diálogo titulada Diálogos sobre los dos sistemas máximos del mundo ptolemaico y copernicano con una serie de argumentaciones en defensa de la teoría heliocentrista. Para ello tiene que crear una nueva física y un nuevo método de trabajo que sentó las bases del pensamiento científico moderno. Galileo consiguió así responder a todas las objeciones planteadas en contra del movimiento terrestre, formulando lo que se conoce como principio de relatividad galileano: "un observador que se mueve con velocidad uniforme no observará diferencias en el comportamiento de los objetos móviles respecto a un observador en reposo". Esta idea la discute Galileo con el siguiente ejemplo, muy propio de la época por cierto en lo que se refiere al medio de transporte:

    "(...)Ciérrese usted con algún amigo en la estancia más grande bajo la cubierta de algún gran barco y encierre allí también mosquitos, moscas y otras pequeñas criaturas aladas. Lleve además una gran artesa llena de agua y ponga dentro algunos peces; cuelgue también una cierta botella que gotee su agua en otra botella de cuello estrecho colocada debajo. Entonces, estando el barco quieto observe cómo estos pequeños animales alados vuelan con parecida velocidad hacia todas partes de la estancia, cómo los peces nadan indiferentemente hacia todos los lados y cómo todas las gotas caen en la botella situada debajo. Y lanzando cualquier cosa hacia un amigo, usted no necesitará arrojarla con más fuerza en una dirección que en otra, siempre que las distancias sean iguales, y saltando a lo largo usted llegará tan lejos en una dirección como en la otra. Después de observar estas particularidades creo que nadie dudará que, mientras el barco permanezca quieto, deben ocurrir de esta manera. Haced ahora que el barco se mueva con la velocidad que se quiera, siempre que el movimiento sea uniforme y no oscile en esta dirección y en aquella. Usted no será capaz de distinguir la menor alteración en todos los efectos citados, ni podrá colegir por uno de ellos si el barco se mueve o está quieto. La causa de la correspondencia de los efectos es que el movimiento del barco es común a todas las cosas que hay en él e incluso al aire; yo he supuesto que estas cosas estaban encerradas en la estancia, pero en el caso de que estén en la cubierta al aire libre y no obligadas a seguir la marcha del barco, se observarían diferencias más o menos notables en algunos de los efectos citados, y no hay duda de que el humo se quedaría atrás como el aire mismo; Las moscas y los mosquitos, impedidos por el aire, no podrían seguir el movimiento del buque si estaban separados de él a alguna distancia; pero de mantenerse cerca de él, gracias a que el barco, siendo una estructura anfractuosa, transporta consigo parte del aire cercano, seguirían al barco sin pena ni dificultad (...)"

    Para el lector moderno, esto no supone ninguna nueva observación si éste ha viajado en un avión. Con respecto al barco se podría haber argumentado que la velocidad no es muy grande y por eso los efectos no son evidentes; pero nuestros jets modernos viajan a velocidades de crucero que suelen sobrepasar los 200 m/s y las cosas suceden tal y como sin estuviéramos en reposo.

El momento culminante de la revolución científica: la obra de Isaac Newton

    Sir Isaac Newton (1642-1727) publicó en 1687 la obra Principios matemáticos de la filosofía natural (más conocida como Principia) donde establece los famosos tres principios del movimiento y la ley de gravitación universal que constituyeron la primera teoría física en el sentido moderno: un conjunto de hipótesis básicas generales (axiomas) de las cuales se pueden deducir explicaciones a una gran variedad de fenómenos cuya relación no era obvia a primera vista. El esquema de Newton unificó la explicación de fenómenos aparentemente tan dispares como la caída de una manzana y el movimiento planetario. Newton se basó en la nueva física galileana y en las leyes de Kepler para producir una teoría que daba una explicación dinámica del movimiento planetario. Los pasos que dio Newton para deducir la ley de Gravitación Universal fueron consecuencia de la acción mutua entre leyes establecidas como el principio de inercia y las leyes de Kepler, nuevas hipótesis como la universalidad de la gravitación, observaciones empíricas como la medida de la distancia a la luna y la aceleración de caída de los cuerpos y deducciones teóricas basas en las propias contribuciones de Newton al cálculo matemático.

    Podemos resumir el proceso de deducción de la ley de gravitación universal de la siguiente manera:

    Los planetas y satélites no están en equilibrio. Una fuerza resultante actúa sobre ellos. Si estuvieran en equilibrio, es decir, si no actuara ninguna fuerza resultante sobre ellos, su movimiento sería en línea recta y no en órbitas elípticas, de acuerdo con la primera ley del movimiento.

    Cualquiera que sea la naturaleza o magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre un planeta o sobre un satélite, su dirección, en cada instante, es hacia el centro del movimiento (fuerza centrípeta). Newton dedujo esta conclusión directamente a partir de la segunda ley de Kepler. Prueba (figura 5):

    Imaginemos un cuerpo que se mueve en la línea recta ABC con velocidad constante. El cuerpo cubre entonces distancias iguales (AB = BC) en tiempos iguales. Los triángulos ABS y BCS tienen la misma área, y la línea que conecta S al cuerpo en las posiciones A, B, C barre por tanto áreas iguales en tiempos iguales.

    Imaginemos sin embargo que cuando el cuerpo pasa por la posición B recibe un impulso súbito que crea una fuerza instantánea en la dirección BS. El cuerpo entonces se moverá en una nueva dirección, llegando al punto C' en el instante en el que debería haber estado en C si dicho impulso súbito no hubiera actuado. C' yace en la línea CC'S' paralela a BDS. Así, el área del triángulo BC'S es igual a la del triángulo BCS pues ambos tienen la misma base (BDS) y la misma altura .


Figura 5.

    Llegamos entonces a la conclusión de que las fuerzas dirigidas hacia un centro aplicadas en intervalos iguales de tiempo no afectan las áreas barridas por unidad de tiempo. Como no hay ninguna razón restrictiva sobre el tamaño de los intervalos de tiempo, podemos elegirlos tan pequeños como queramos, de modo, que en el límite cuando éstos tienden a cero, la fuerza dirigida al centro se convierte en una fuerza continua de acción centrípeta y la línea quebrada se convierte en una curva uniforme. Finalmente, invirtiendo el argumento, y de acuerdo con Newton, diremos que, puesto que los planetas -según la segunda ley de Kepler- barren áreas iguales por unidad de tiempo, la fuerza que actúa sobre ellos debe ser una fuerza constante dirigida hacia un centro. En el caso de la elipse, este centro de fuerzas es uno de los focos, donde se halla el Sol.

    Ahora que hemos aceptado que la fuerza está dirigida al centro surge el siguiente problema crucial: si un cuerpo describe una elipse (incluyendo el caso particular de una circunferencia), es necesario determinar la ley de la fuerza centrípeta dirigida al foco de la elipse. Newton demostró con todo rigor matemático que si la trayectoria de un cuerpo es una cónica (ya sea una elipse, circunferencia, parábola o hipérbola), y si la fuerza centrípeta que actúa sobre él en cualquier instante está dirigida hacia uno de los focos, dicha fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Es decir

F = C/r2.

    En este punto no podemos seguir la demostración general, pero demostraremos que si para un planeta en una trayectoria circular y con movimiento uniforme se cumple la tercera ley de Kepler T2 = K R3 siendo K una constante, obtendremos el resultado de que la fuerza tiene que estar como el inverso del cuadrado de la distancia.

    La deducción es la siguiente: la aceleración necesaria para mantener a un cuerpo en una órbita circular es precisamente la aceleración centrípeta que se calcula como

ac = v2/R

    Pero en un movimiento circular uniforme tendremos que la velocidad puede ser calculada como

v = 2 p R/T

combinando ambas expresiones tenemos que

ac = 4 p 2 R/T2

y sustituyendo la tercera ley de Kepler obtenemos

ac = 4 p 2/(K R2)

    Finalmente, la fuerza centrípeta no será más que (aplicando la segunda ley del movimiento) el producto de la masa del planeta m por la aceleración centrípeta

Fc = m ac

    Apareciendo el resultado buscado de que la fuerza varía como el inverso de la distancia.

    Una primer indicio de que este resultado es satisfactorio podemos obtenerlo de calcular la aceleración a la que está sometida la Luna y compararla con la aceleración de la gravedad en las inmediaciones de la superficie terrestre. Sabiendo que el periodo de traslación de la Luna es de unos 28 días y que la distancia al centro de gravedad terrestre es de unos 380,000 km hallamos que la aceleración a la que está sometida la Luna en su órbita es

ac = 4 p 2 R/T2 = 39.5´ 380000000m/(28´ 24´ 3600)2 = 0.00256 m/s2

que comparada con el valor de g = 9.8 m/s2 tenemos que es unas 3828 (9.8/0.00256) veces menor. El radio de la Tierra es de unos 6380 km y la relación entre los cuadrados de la distancia es entonces

380,0002/63802 = 3547

    Por tanto, y teniendo en cuenta la imprecisión en los cálculos, los números parecen compatibles con la ley del inverso del cuadrado de la distancia.

    Isaac Newton se basó en las consideraciones hechas en los comentarios precedentes para establecer la ley que caracterizaba a la gravedad de la siguiente manera

Fm-M = G m M/r2

    Siendo Fm-M la fuerza de gravedad con la que se atraen dos masas de magnitud M y m; r la distancia entre los centros de las masas y G una constante que tenemos que medir. Ya habíamos indicado cómo llegamos a la sospecha de que la fuerza debería disminuir con el cuadrado de la distancia. El producto de las masas M y m, que aparece en el numerador de la expresión anterior parece lógico por dos razones:

  • las masas mayores producirán gravedades de mayor magnitud y la manera más sencilla de hacerlo sería que este aumento sea proporcional
  • el hecho de poner las dos masas de esa forma garantiza que la fuerza de atracción sea igual desde el punto de vista de ambas masas, es decir, la fuerza con que la masa M atrae a la masa m es exactamente la misma que la fuerza que produce m sobre M (tercer principio de la dinámica)

¿Una teoría definitiva de la gravedad?

    Con la teoría newtoniana de la gravitación se pudo explicar cuantitativamente fenómenos como la precesión de los equinoccios, el movimiento de las mareas y se pudo predecir la órbita de cometas y la existencia de nuevos planetas a partir de las perturbaciones gravitatorias que producían estos en el movimiento de los restantes planetas. Así en 1846 se descubrió Neptuno después de buscarlo justo donde la teoría predecía su existencia. Este éxito sin precedentes llevó a los físicos del siglo pasado a pensar en que la mecánica newtoniana y su teoría de gravitación constituían las leyes básicas de un universo que veían como un mecanismo de relojería cuyos engranajes funcionaban al ritmo que le marcaban las leyes de Newton: el Universo Mecánico. Y que a medida que mejoraran las técnicas de cálculo podrían en principio predecir cualquier fenómeno mecánico. Sin embargo existían algunos puntos oscuros en la teoría de la gravedad newtoniana:

  • ¿Cuál era exactamente el mecanismo que producía la gravedad?
  • ¿Cómo se influían los cuerpos a distancia y cómo podía ser esta interacción instantánea?.

    Esta cuestión está relacionada con los problemas que dieron origen a la teoría especial de la relatividad.

    Además de un problema observacional que consistía en una pequeña diferencia entre el cálculo de la precesión del perihelio de la órbita del planeta Mercurio y su valor observado.

    Albert Einstein resolvió de manera satisfactoria todos estos problemas con la formulación de la teoría general de la relatividad completada aproximadamente sobre 1916, una nueva teoría de la gravitación que nos sumergiría en un nuevo mundo donde existe una interconexión profunda entre la fuerza de gravedad y la geometría del espacio-tiempo.

Historia
   Definición: f. Narración y exposición de los acontecimientos pasados y dignos de memoria, sean públicos o privados.
  En pocas palabras, historia de las matemáticas, biografías, galería de genios, etc.

Índice Isaac Newton

Introducción

Isaac Newton

Newton y las Matemáticas

Teorías del Sistema Solar

Kepler

La mecánica celeste

El estudio de la luz

Europa en los siglos
XVII y XVIII

El racionalismo

Inglaterra en siglo XVII

Bibliografía

Material de

Material de  Mauricio Vega

Domingo, 17 / 11 / 2019
   BUSCADOR
 

   TU CORREO
Usuario
Contraseña

   MATRACAS
Lista de correo gratuita
.: Chismes de Adán y Eva :.
Adios a Elisenda Fo...
WolframAlpha: El mo...
WIRIS para Mac...
Third CEU Summersch...
¡Más y más actualiz...
Cerca de 500 MB de ...
Ha llegado el momen...
WIRIS, matemáticas ...
El Universo Matemát...
Segundas Jornadas d...
Los Elementos de Eu...
VI Semana de la Cie...
Tras varios meses d...
¡Chiflados por los ...
Otro verano más, to...

 

Todos los derechos reservados. El Paraíso de las Matemáticas 2015Información Legal Política de PrivacidadAyudaEmail