Durante
su primer año de estudios, y probablemente por primera vez,
leyó una obra de matemáticas sobre la geometría
de Euclides, lo que despertó en él el deseo de leer
otras obras. Parece también que su primer tutor fue Benjamin
Pulleyn, posteriormente profesor de griego en la Universidad. En
1663, Newton leyó la Clavis mathematicae de Oughtred, la
Geometría a René Descartes de Van Schooten, la Optica
de Kepler, la Opera mathematica de Vieta, editadas por Van Schooten
y, en 1644, la Aritmética de Wallis que le serviría
como introducción a sus investigaciones sobre las series
infinitas, el teorema del binomio, ciertas cuadraturas. También
a partir de 1663 Newton conoció a Barrow, quien le dio clase
como primer profesor lucasiano de matemáticas. En la misma
época, Newton entró en contacto con los trabajos de
Galileo, Fermat, Huygens y otros, a partir probablemente de la edición
de 1659 de la Geometría de Descartes por Van Schooten.
Desde finales de 1664, Newton parece
dispuesto a contribuir personalmente al desarrollo de las matemáticas.
Aborda entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos
de Wallis, y el cálculo de fluxiones. Después, al
acabar sus estudios de bachiller, debe volver a la granja familiar
a causa de una epidemia de peste bubónica. Retirado con su
familia durante los años 1665-1666, conoce un período
muy intenso de descubrimientos: descubre la ley del inverso del
cuadrado, de la gravitación, desarrolla su cálculo
de fluxiones, generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto
la naturaleza física de los colores. Sin embargo, Newton
guarda silencio sobre sus descubrimientos y reanuda sus estudios
en Cambridge en 1667.
De 1667 a 1669, emprende activamente
investigaciones sobre óptica y es elegido fellow del Trinity
College. En 1669, Barrow renuncia a su cátedra lucasiana
de matemáticas y Newton le sucede y ocupa este puesto hasta
1696. El mismo año envía a Collins, por medio de Barrow,
su Analysis per aequationes numero terminorum infinitos. Para Newton,
este manuscrito representa la introducción a un potente método
general, que desarrollará más tarde: su cálculo
diferencial e integral. En 1672 publicó una obra sobre la
luz con una exposición de su filosofía de las ciencias,
libro que fue severamente criticado por la mayor parte de sus contemporáneos,
entre ellos Robert Hooke (1638-1703) y Huygens, quienes sostenían
ideas diferentes sobre la naturaleza de la luz. Como Newton no quería
publicar sus descubrimientos, no le faltaba más que eso para
reafirmarle en sus convicciones, y mantuvo su palabra hasta 1687,
año de la publicación de sus Principia, salvo quizá
otra obra sobre la luz que apareció en 1675.
Desde 1673 hasta 1683, Newton enseñó
álgebra y teoría de ecuaciones, pero parece que asistían
pocos estudiantes a sus cursos. Mientras tanto, Barrow y el astrónomo
Edmond Halley (1656-1742) reconocían sus méritos y
le estimulaban en sus trabajos. Hacia 1679, verificó su ley
de la gravitación universal y estableció la compatibilidad
entre su ley y las tres de Kepler sobre los movimientos planetarios.
Newton descubrió los principios
de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666, y durante
el decenio siguiente elaboró al menos tres enfoques diferentes
de su nuevo análisis. Desde 1684, su amigo Halley le incita
a publicar sus trabajos de mecánica, y finalmente, gracias
al sostén moral y económico de este último
y de la Royal Society, publica en 1687 sus célebres Philosophiae
naturalis principia mathematica. Los tres libros de esta obra contienen
los fundamentos de la física y la astronomía escritos
en el lenguaje de la geometría pura. El libro I contiene
el método de las "primeras y últimas razones"
y, bajo la forma de notas o de escolios, se encuentra como anexo
del libro III la teoría de las fluxiones. Aunque esta obra
monumental le aportó un gran renombre, resulta un estudio
difícil de comprender, y parece que Newton quiso que fuera
así con el fin «de evitar ser rebajado por pequeños
semisabios en matemáticas». Quiso escapar así
a las críticas suscitadas por sus textos sobre la luz.
"No sé cómo puedo
ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado
como un niño que juega al borde del mar, y que se divierte
buscando de vez en cuando una piedra más pulida y una concha
más bonita de lo normal, mientras que el gran océano
de la verdad se exponía ante mí completamente desconocido."
Esta era la opinión que Newton
tenía de sí mismo al fin de su vida. Fue muy respetado,
y ningún hombre ha recibido tantos honores y respeto, salvo
quizá Einstein. Heredó de sus predecesores, como él
bien dice "si he visto más lejos que los otros hombres
es porque me he aupado a hombros de gigantes"- los ladrillos
necesarios, que supo disponer para erigir la arquitectura de la
dinámica y la mecánica celeste, al tiempo que aportaba
al cálculo diferencial el impulso vital que le faltaba.
El teorema del binomio
El teorema del binomio, descubierto
hacia 1664-1665, fue comunicado por primera vez en dos cartas dirigidas
en 1676 a Henry Oldenburg (hacia 1615-1677), secretario de la Royal
Society que favorecía los intercambios de correspondencia
entre los científicos de su época. En la primera carta,
fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición
de Leibniz que quería conocer los trabajos de matemáticos
ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de
su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos
en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta
fechada el 17 de agosto del mismo año, que está en
posesión de un método general que le permite obtener
diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y
menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones
de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada
el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto
la serie binómica.
Aplicando los métodos de Wallis
de interpolación y extrapolación a nuevos problemas,
Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados
mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba
en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar
que un buen número de series ya existentes eran casos particulares,
bien directamente, bien por diferenciación o integración.
El descubrimiento de la generalización
de la serie binómica es un resultado importante de por sí;
sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición
de que se podía operar con series infinitas de la misma manera
que con expresiones polinómicas finitas. El análisis
mediante las series infinitas parecía posible, porque ahora
resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones
que representaban.
Newton no publicó nunca el
teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su
Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.
El De analysi
Compuesto en 1669 a partir de conceptos
elaborados en 1665-1666, el De analysi no fue publicado hasta 1711,
aunque era conocido entre los próximos a Newton porque circulaba
en forma manuscrita desde 1669.
Al comienzo de sus investigaciones
sobre las propiedades de las líneas curvas, Newton se apoya
principalmente en el método de las tangentes de Descartes,
aunque también recurre a la regla de Hudde para la determinación
de los extremos. Newton se dispone desde el principio a elaborar
algoritmos que le permitan simplificar la resolución de los
problemas de tangentes, cuadratura y rectificación de curvas.
El De analysi contiene los fundamentos de su método de las
series infinitas que se manipulan mediante operaciones de división
y extracción de raíces. Toma también de la
física ciertos conceptos que se revelan útiles para
sus métodos infinitesimales y para traducir su concepción
cinemática de las curvas. En 1666 todavía no ha desarrollado
completamente su notación de las fluxiones, pero en 1669,
en el momento de la redacción de su De analysi, utiliza todavía
la notación más o menos convencional y reserva para
una ulterior publicación sus fluxiones como concepto operacional
a nivel algorítmico.
Utiliza la relación de reciprocidad
entre la diferenciación y la integración y aplica
su método para obtener el área comprendida bajo diversas
curvas y para resolver numerosos problemas que requieren sumaciones.
Enuncia y utiliza también la regla moderna: la integral indefinida
de una suma de funciones es la suma de las integrales de cada una
de las funciones.
Se sirve también de las series
infinitas para integrar curvas utilizando la regla de integración
término a término.
Añadamos que, con motivo de
ciertas observaciones a propósito de la utilización
de las series infinitas, Newton parece estar preocupado por el concepto
de convergencia, pero no aporta ninguna solución a este problema.
El método de las fluxiones
Se franquea una segunda etapa en el
momento en que Newton acaba, en 1671, su obra Methodus fluxionum
et serierum infiniturum, comenzada en 1664. Newton tenía
intención de publicarla, en particular en su Opticks, pero
a causa de las críticas formuladas anteriormente con respecto
a sus principios sobre la naturaleza de la luz, decidió no
hacerlo. De hecho, será publicada en 1736 en edición
inglesa, y no será publicada en versión original hasta
1742. Newton expone en este libro su segunda concepción del
análisis introduciendo en sus métodos infinitesimales
el concepto de fluxión.
En su prefacio, Newton comenta la
decisión de Mercator de aplicar al álgebra la «doctrina
de las fracciones decimales», porque, dice, «esta aplicación
abre el camino para llegar a descubrimientos más importantes
y más difíciles». Después habla del papel
de las sucesiones infinitas en el nuevo análisis y de las
operaciones que se pueden efectuar con esas sucesiones.
La primera parte de la obra se refiere
justamente a la reducción de «términos complicados»
mediante división y extracción de raíces con
el fin de obtener sucesiones infinitas.
Newton introduce su nueva concepción
de fluxiones y fluentes al abordar dos problemas; el primero consiste
en encontrar la velocidad del movimiento en un tiempo dado cualquiera,
dada la longitud del espacio descrito. El segundo problema es la
inversa del primero.
Disponiendo de su método general,
determina los máximos y mínimos de relaciones, las
tangentes a curvas (parábola, concoide de Nicomedes, espirales,
cuadratrices), el radio de curvatura, los puntos de inflexión
y el cambio de concavidad de las curvas, su área y su longitud.
Newton incluye también en esta
obra tablas de curvas clasificadas según diez órdenes
y once formas, que comprenden también la abscisa y la ordenada
para cada una de las formas y el área de cada una de ellas
(tabla de integrales). También incluye nuevas clases de ordenadas,
una fórmula de aproximación para la solución
de las ecuaciones que llevan su nombre, y el paralelogramo de Newton,
útil para el desarrollo de series infinitas y para el trazado
de curvas.
Cuando Newton aborda el problema de
«trazar las tangentes de las curvas», expone nueve maneras
diferentes de hacerlo, teniendo en cuenta las «diferentes
relaciones de las curvas con las líneas rectas». En
la tercera manera, recurre a las «coordenadas bipolares»,
poco utilizadas actualmente. Pero en la exposición de la
séptima manera encontramos por primera vez la utilización
de las coordenadas polares.
Newton expone en el artículo
XX de su Método un procedimiento para la determinación
aproximada de las raíces de una ecuación. Lo presenta
como un método para efectuar «la reducción de
las ecuaciones afectadas», para reducirlas a sucesión
infinita.
Este método fue modificado
ligeramente por Joseph Raphson en 1690, y después por Thomas
Simpson en 1740, para dar la forma actual.
El De quadratura curvarum
La tercera concepción de Newton
a propósito del nuevo análisis aparece en su De quadratura
curvarum, escrita en 1676 pero no publicada hasta 1704, como apéndice
a su Opticks. Newton se propone esta vez fundamentar su cálculo
sobre bases geométricas sólidas, por lo que hace hincapié
en la concepción cinemática de las curvas.
Más adelante, Newton describe
la distinción entre el uso de elementos discontinuos y las
nuevas consideraciones cinemáticas con referencia a las fluxiones,
abandonando así las cantidades infinitamente pequeñas
en beneficio de una ampliación del concepto de fluxión
que requiere la comparación de velocidades instantáneas
en la razón última de los pequeños crecimientos.
La tercera concepción de Newton
se presenta en forma operacional mediante el método de las
«primeras y últimas razones».
Sin embargo, el mismo Newton es consciente
de las precauciones que hay que tomar para aplicar su método
de las «primeras y últimas razones» a la determinación
de la fluxión, porque añade en su introducción:
"Los menores errores en matemáticas
no deben ser despreciados."
Newton precisa sus concepciones, sin
introducir sus notaciones, al comienzo de los Principia en lo que
llama método de «las primeras y últimas razones».
Los Principia
La primera información publicada
acerca de su cálculo diferencial e integral aparece indirectamente
en sus famosos Philosophiae naturalis principia mathematica, de
1687. Aunque en esta obra predomina la forma sintética y,
por otra parte, Newton utiliza métodos geométricos
en sus demostraciones, se encuentran sin embargo algunos pasajes
analíticos, en particular la sección primera del libro
I, titulada: «El método de las primeras y últimas
razones».
Entre los numerosos pasajes que explican
su método de «las primeras y últimas razones»,
el que sigue, que proviene de un escolio que acompaña al
lema XI en la segunda edición traducida por Andrew Motte,
parece ser el más claro:
"Las razones últimas
en las que las cantidades desaparecen no son realmente las razones
de cantidades últimas, sino los límites hacia los
cuales se aproximan constantemente las razones de cantidades, que
decrecen sin límite, y hacia los cuales pueden aproximarse
tanto como cualquier diferencia dada, pero sin sobrepasarlos o alcanzarlos
antes de que las cantidades disminuyan indefinidamente."
Es interesante observar la explicación
de Newton relativa a sus razones últimas, porque nos permite
ver mejor la semejanza entre su última concepción
y nuestra derivada actual. En particular, la idea intuitiva de esta
razón última se encuentra en el problema de las tangentes.
Newton considera una tangente como la posición límite
de una secante.
Newton introduce la noción
de «diferencial», designada por la palabra «momento»,
el cual es producido por una cantidad variable llamada «genita».
Este constituye una aproximación al concepto de función,
y se presenta en el libro II, sección 11 de los Principia.
Parece que estas cantidades llamadas «genita» son variables
e indeterminadas, y que aumentan o decrecen mediante un movimiento
continuo, mientras que sus momentos son crecimientos temporales
que pueden generar partículas finitas. En aritmética,
las «genita» son generadas o producidas por la multiplicación,
la división o la extracción de raíces de cualquier
término, mientras que la búsqueda del contenido de
los lados o de los extremos y medias proporcionales constituye «genita».
Así, las «genita» pueden ser productos, cocientes,
raíces, rectángulos, cuadrados, cubos, etc. Sin embargo,
Newton no llega a esclarecer el concepto de momento lo suficiente
como para que se pueda hablar aquí de una concepción
neta de la diferencial de una función.
En el prefacio de sus Principia, Newton
ofrece la definición de conceptos de mecánica tales
como inercia, momento y fuerza, y después enuncia las tres
célebres leyes del movimiento que son generalizaciones de
las concepciones de Galileo sobre el movimiento.
A continuación, Newton asocia
las leyes astronómicas de Kepler y la ley centrípeta
de Huygens en el movimiento circular para establecer el principio
de su célebre ley de la gravitación universal.
Este libro I, titulado: El movimiento
de los cuerpos, trata abundantemente de mecánica y comprende
también un estudio y una descripción orgánica
de las cónicas.
El libro II está consagrado
al movimiento de los cuerpos en medios que ofrecen una resistencia
como el aire y los líquidos. Es la verdadera introducción
a la ciencia del movimiento de los fluidos. Se puede encontrar en
él, entre otras cosas, un estudio de la forma de los cuerpos
para ofrecer menos resistencia, una sección sobre la teoría
de las ondas, una fórmula para la velocidad del sonido en
el aire y un estudio de las ondas en el agua.
El libro III, titulado Sobre el sistema
del mundo, contiene las aplicaciones al sistema solar de la teoría
general desarrollada en el libro I. Newton demostró cómo
calcular la masa del Sol en términos de la masa de la Tierra
y de los otros planetas que tienen un satélite. Calculó
la masa volúmica media de la Tierra y demostró que
tenía la forma de un esferoide aplanado, y que, por consiguiente,
la atracción no era constante en su superficie. Hizo también
un estudio de la precesión de los equinoccios y de las mareas,
explicó que la Luna constituía la causa principal
de este fenómeno y que el Sol también ejercía
en él una influencia. Dedicó también un estudio
detallado al movimiento de la Luna, porque debía servir para
mejorar la determinación de las longitudes.
Newton realizó también
contribuciones a otros temas matemáticos, entre los que podemos
mencionar una clasificación de las curvas de tercer grado
y trabajos sobre la teoría de las ecuaciones.
En un pequeño tratado, publicado
como apéndice a su Opticks en 1704 y titulado Enumeratio
linearum tertii ordinis, Newton, que compuso esta obra en 1676,
divide las cúbicas en catorce genera que comprenden setenta
y dos especies, de las que faltan seis. Para cada una de estas especies,
traza cuidadosamente un diagrama y el conjunto de estos diagramas
presenta todas las formas posibles (salvo las que son degeneradas)
de las curvas de tercer grado. Subrayemos el uso sistemático
de dos ejes y el empleo de coordenadas negativas.
En una obra publicada por primera
vez en 1707, y de la que aparecen muchas ediciones en el siglo XVIII,
Newton expone su visión de la teoría de las ecuaciones.
Evidentemente nos referimos a su Aritmetica universalis, compuesta
al parecer entre 1673 y 1683 a partir de los cursos que impartió
en Cambridge. Entre las contribuciones importantes de esta obra,
mencionemos las «identidades de Newton» para la suma
de las potencias de las raíces de una ecuación polinómica,
un teorema que generaliza la regla de los signos de Descartes para
la determinación del número de raíces imaginarias
de un polinomio, un teorema sobre la cota superior de las raíces
de una ecuación polinómica, y el descubrimiento de
la relación entre las raíces y el discriminante de
una ecuación. Señalemos que las cuestiones geométricas
ocupan una parte importante en esta obra, porque Newton parece pensar
que es muy útil construir geométricamente la ecuación
con el fin de estimar más fácilmente las raíces
buscadas. |